Question

4．如图，正方形ABCO放置在平面直角坐标系上，抛物线y=ax²+bx+c经过B，C，点D在边AB上，连结OD，将△OAD沿着OD折叠，使点A落在此抛物线的顶点E处，若AB=2，则a的值是2-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 过点E作EF⊥y轴于点F，根据二次函数的性质、正方形的性质结合折叠的性质可得出EF=1、OE=2，利用勾股定理可求出点E的坐标，再根据点B、C、E的坐标，利用待定系数法即可求出a值．

解答 解：过点E作EF⊥y轴于点F，如图所示．
∵抛物线y=ax²+bx+c经过B、C，点E为抛物线的顶点，
∴EF=$\frac{1}{2}$BC．
∵四边形ABCO为正方形，AB=2，
∴EF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB=1，C（0，2），B（2，2）．
由翻折可知，AO=AE=2．
在Rt△OEF中，EF=1，OE=2，
∴OF=$\sqrt{O{E}^{2}-E{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴点E的坐标为（1，$\sqrt{3}$）．
将B（2，2）、C（0，2）、E（1，$\sqrt{3}$）代入y=ax²+bx+c，
$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=2}\\{c=2}\\{a+b+c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得：a=2-$\sqrt{3}$．
故答案为：2-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了二次函数的性质、正方形的性质、翻折变换、勾股定理以及待定系数法求二次函数解析式，利用勾股定理求出顶点E的坐标是解题的关键．