Question

5．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆分别交AC，BC边于点D，E，连接BD，
（1）求证：点E是$\widehat{BD}$的中点；
（2）当BC=12，且AD：CD=1：2时，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）要证明点E是$\widehat{BD}$的中点只要证明BE=DE即可，根据题意可以求得BE=DE；
（2）根据题意可以求得AC和AB的长，从而可以求得⊙O的半径．

解答 （1）证明：连接AE，DE
∵AB是直径，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=EC，
∵∠CDB=90°，DE是斜边BC的中线，
∴DE=EB，
∴$\widehat{ED}=\widehat{EB}$，
即点E是$\widehat{BD}$的中点；
（2）设AD=x，则CD=2x，
∴AB=AC=3x，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD²=（3x）²-x²=8x²，
在Rt△CDB中，
（2x）²+8x²=12²，
∴$x=2\sqrt{3}$，
∴$OA=\frac{3}{2}x=3\sqrt{3}$，
即⊙O的半径是3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查圆心角、弦、弧的关系、等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．