Question

14．如图，抛物线y=x²-3x+$\frac{5}{4}$与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E
（1）求A、B的坐标；
（2）求直线BC的解析式；
（3）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）通过解方程x²-3x+$\frac{5}{4}$=0可确定A点和B点坐标；
（2）先求出C点坐标，然后利用待定系数法求直线BC的解析式；
（3）设点D的横坐标为m，则纵坐标为（m，m²-3m+$\frac{5}{4}$），则E点的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{4}$），则可利用m表示出DE，然后利用二次函数的性质求出m，从而可得到D点坐标．

解答 解：（1）当y=0时，x²-3x+$\frac{5}{4}$=0，解得x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{5}{2}$，
∴A（$\frac{1}{2}$，0），B（$\frac{5}{2}$，0）；
（2）当x=0，则y=x²-3x+$\frac{5}{4}$=$\frac{5}{4}$，
∴C点坐标为（0，$\frac{5}{4}$），
设直线BC的解析式为y=kx+b，根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{2}k+b=0}\\{b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{4}$；
（3）设点D的横坐标为m，则纵坐标为（m，m²-3m+$\frac{5}{4}$），则E点的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{4}$），
DE=-$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{4}$-（m²-3m+$\frac{5}{4}$）=-m²+$\frac{5}{2}$m，
∵DE=-（m-$\frac{5}{4}$）²+$\frac{25}{16}$
∴m=$\frac{5}{4}$时，DE的长最大，
∴D点的坐标为（$\frac{5}{4}$，-$\frac{15}{16}$）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：利用抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0）可设二次函数的交点式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）．也考查了二次函数的性质．