Question

20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，若点G是△ABC的重心，cos∠BCG=$\frac{2}{3}$，BC=4，则CG=2．

Answer 1

分析 延长CG交AB于D，作DE⊥BC于E，根据重心的概念得到点D为AB的中点，根据直角三角形的性质得到DC=DB，根据等腰三角形的三线合一得到CE=2，根据余弦的概念求出CD，根据三角形的重心的概念得到答案．

解答 解：延长CG交AB于D，作DE⊥BC于E，
∵点G是△ABC的重心，
∴点D为AB的中点，
∴DC=DB，又DE⊥BC，
∴CE=BE=$\frac{1}{2}$BC=2，又cos∠BCG=$\frac{2}{3}$，
∴CD=3，
∵点G是△ABC的重心，
∴CG=$\frac{2}{3}$CD=2，
故答案为：2．

点评 本题考查的是三角形的重心的概念和性质以及锐角三角函数的定义，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．