Question

11．如图，开口向下的抛物线y=a（x-2）²+k，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，顶点为P，过顶点P，作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M，N．
（1）若∠CPM=45°，OC=$\frac{5}{2}$，求抛物线解析式．
（2）若a=-1，△PCM为等腰三角形，求k的值．
（3）在（1）的情况下，设PC交x轴于E，若点D为线段PE上一动点（不与P点重合），BD交△PMD的外接圆于点Q．求PQ的最小值．

Answer 1

分析 （1）由∠CPM=45°可知△PCN为等腰三角形，故CN=PN=2，PM=ON=$\frac{9}{2}$，P（2，$\frac{9}{2}$），再把P，C两点的坐标代入求值即可；
（2）把a=-1代入抛物线的解析式，再根据CP=CM，PC=PM=k及MC=MP=k三种情况进行讨论；
（3）连接MQ，则∠MQD=∠MPC=45°，故∠MQB=135°．以BM为斜边向x轴下方作等腰直角三角形MEB，则点Q在以E为圆心，ME为半径的圆上，连接PE，交⊙E于点Q，此时PQ最小，再由勾股定理即可得出结论

解答 解：（1）∵抛物线的解析式为y=a（x-2）²+k，
∴OM=2．
∵∠CPM=45°，
∴△PCN为等腰三角形，
∴CN=PN=OM=2，
∴PM=ON=2+$\frac{5}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∴P（2，$\frac{9}{2}$），
∴y=a（x-2）²+$\frac{9}{2}$．
把C（0，$\frac{5}{2}$）代入得，4a+$\frac{9}{2}$=$\frac{5}{2}$，
解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+$\frac{9}{2}$；
（2）a=-1时，y=-（x-2）²+k=-x²+4x-4+k，
∴C（0，-4+k）．
由题意得，P（2，k），M（2，0），
当CP=CM时，-4+k=$\frac{1}{2}$k，
解得k=8；
当PC=PM=k时，
在△PCN中，∵PN=2，CN=k-（-4+k）=4，
∴PC=k=$\sqrt{P{N}^{2}+C{N}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
当MC=MP=k时，
在Rt△OMC中，∵OM=2，OC=-4+k，
∴OC²+OM²=CM²，
∴（-4+k）²+2²=k²，
解得k=$\frac{5}{2}$（舍）．
综上所述，△PCM为等腰三角形时，k=8或2$\sqrt{5}$
（3）如图，

连接MQ，则∠MQD=∠MPC=45°，
∴∠MQB=135°，
以BM为斜边向x轴下方作等腰直角三角形MFB，则点Q在以F为圆心，MF为半径的圆上，连接PF，交⊙F于点Q，此时PQ最小．
∵B（5，0），M（2，0），
∴F（$\frac{7}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
∴MF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，PF=$\sqrt{（\frac{3}{2}+\frac{9}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{17}}{2}$，
∴PQmin=$\frac{3\sqrt{17}}{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了勾股定理、特殊角的三角函数值，等腰三角形的判定与性质等知识，分类讨论是解本题的关键，难度较大．