【题目】某企业生产 ， 两种产品，根据市场调查与预测， 产品的利润与投资关系如图（1）所示； 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润和投资单位：万元）．

（1）分别将 ， 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；

（2）已知该企业已筹集到 万元资金，并将全部投入 ， 两种产品的生产．问怎样分配这 万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若函数在处的切线方程为，求和的值；

（Ⅱ）讨论方程的解的个数，并说明理由.

【题目】在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据已往经验，潜水员下潜的平均速度为（米/单位时间），每单位时间的用氧量为（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为（升），返回水面的平均速度为（米/单位时间），每单位时间用氧量为（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为（升）.

（1）求关于的函数关系式；

（2）若，求当下潜速度取什么值时，总用氧量最少.

【题目】某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵。某汽车经销商推出三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图。已知从三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1辆所获得的利润分别是1万元，2万元，3万元。以这100 位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率。

（Ⅰ）求采用上述分期付款方式销售此品牌汽车1辆，该汽车经销商从中所获得的利润不大于2万元的概率；

（Ⅱ）求采用上述分期付款方式销售此品牌汽车1辆，该汽车经销商从中所获得的利润的平均值；

（Ⅲ）根据某税收规定，该汽车经销商每月（按30天计）上交税收的标准如下表：

若该经销商按上述分期付款方式每天平均销售此品牌汽车3辆，估计其月纯收入（纯收入=总利润-上交税款）的平均值.

【题目】已知函数 的定义域为 ，若对于任意的 ， ，都有 ，且当 时，有 ．

（1）证明： 为奇函数；

（2）判断 在 上的单调性，并证明；

（3）设 ，若 （ 且 ）对 恒成立，求实数 的取值范围．

【题目】已知直线与椭圆相交于两点，与轴， 轴分别相交于点和点，且，点是点关于轴的对称点， 的延长线交椭圆于点，过点分别做轴的垂线，垂足分别为.

（1） 若椭圆的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上，求椭圆的方程；

（2）当时，若点平分线段，求椭圆的离心率.

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若曲线在点处得切线方程与直线垂直，求的值；

（Ⅱ）若在上为单调递减函数，求的取值范围；

（Ⅲ）设，求证： .

【题目】如图，四棱锥中， ，侧面为等边三角形， ， .

（Ⅰ）证明： 平面；

（Ⅱ）求与平面所成的角的大小.

【题目】环境监测中心监测我市空气质量，每天都要记录空气质量指数(指数采取10分制，保留一位小数)，现随机抽取20天的指数(见下表)，将指数不低于视为当天空气质量优良.

(1)求从这20天随机抽取3天，至少有2天空气质量为优良的概率；

(2)以这20天的数据估计我市总体空气质量(天数很多)，若从我市总体空气质量指数中随机抽取3天的指数，用表示抽到空气质量为优良的天数，求的分布列及数学期望.

【题目】已知函数在处的切线经过点

（1）讨论函数的单调性；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.