则

由△CDH∽△B₁DB，得即点C到平面AB₁D的距离是

解法二：建立空间直角坐标系D―xyz，如图，（I）证明：连接A₁B，设A₁B∩AB₁ = E，连接DE.

设A₁A = AB = 1，

∴AD⊥平面B₁BCC₁，又AD平面AB₁D，∴平面B₁BCC₁⊥平面AB₁D.

在平面B₁BCC₁内作CH⊥B₁D交B₁D的延长线于点H，则CH的长度就是点C到平面AB₁D的距离.

所以，二面角B―AB₁―D的大小为

（III）解：∵平面B₁BCC₁⊥平面ABC，且AD⊥BC，

在△ABE中，，在Rt△DFG中，，

设A₁A = AB = 1，在正△ABC中，DF=

∵DE平面AB₁D，A₁C平面AB₁D，∴A₁C∥平面AB₁D.

（II）解：在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A₁ABB₁内作FG⊥AB₁于点G，连接DG.∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC，  ∴DF⊥平面A₁ABB₁，

∴FG是DG在平面A₁ABB₁上的射影，  ∵FG⊥AB₁， ∴DG⊥AB₁

∴∠FGD是二面角B―AB₁―D的平面角

9、【解析】解法一（I）证明：连接A₁B，设A₁B∩AB₁ = E，连接DE.

∵ABC―A₁B₁C₁是正三棱柱，且AA₁ = AB，∴四边形A₁ABB₁是正方形，

∴E是A₁B的中点，又D是BC的中点，∴DE∥A₁C.