2.重点公式

(1)如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广:P(A₁+A₂+…+A_n)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n).

(2)对立事件的概率和等于1.

P(P)+P()=P(A+)=1.

[题例分析]

例1、甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个.甲、乙二人各抽一题：

(1)求甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率；

(2)求甲、乙两人中至少一人抽到选择题的概率.

解：(1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的可能结果有C·C个，又甲、乙依次抽到一题的可能结果有CC个，所以，所求概率为：=.

(2)甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为:1-=1-=1-=.

例2、某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29.计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率.

解：设这个射手在一次射击中命中10环或9环为事件A，命中10环、9环、8环以及不够8环的事件分别记为A₁、A₂、A₃、A₄.

∵A₂、A₃、A₄彼此互斥，

∴P(A₂+A₃+A₄)=P(A₂)+P(A₃)+P(A₄)=0.28+0.19+0.29=0.76.

又∵A₁=，∴P(A₁)=1-P(A₂+A₃+A₄)=1-0.76=0.24.

∵A₁与A₂互斥，

∴P(A)＝P(A₁+A₂)=P(A₁)+P(A₂)=0.24+0.28＝0.52.

故这个射手在一次射击中命中10环或9环的概率为0.52.

例3、袋中放有3个伍分硬币，3个贰分硬币和4个壹分硬币，从中任取3个，求总值超过8分的概率.

解：记“总值超过8分”为事件A，它应有四种情况：

(1)“取到3个伍分硬币”为事件A₁；

(2)“取到2个伍分和一个贰分硬币”为事件A₂；

(3)“取到2个伍分和一个壹分硬币”为事件A₃；

(4)“取到一个伍分硬币和2个贰分硬币”为事件A₄.

则P(A₁)==.　　　　P(A₂)==.

P(A₃)==.　　　　 P(A₄)==.

依题意，A₁、A₂、A₃、A₄彼此互斥，

∴P(A)=P(A₁+A₂+A₃+A₄)=P(A₁)+P(A₂)+P(A₃)+P(A₄)=

例4、经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：

　　　 (I)每天不超过20人排队结算的概率是多少？

(Ⅱ)一周7天中，若有3天以上(含3天)出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？

解：(I)每天不超过20人排队结算的概率为：P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75，即不超过20人排队结算的概率是0.75.　 　　　　　　　　　　

(Ⅱ)每天超过15人排队结算的概率为：0.25+0.2+0.05=，　　　　　　　　　　

一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为；

一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为；

一周7天中，有二天出现超过15人排队结算的概率为；

所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为：

，

所以，该商场需要增加结算窗口.

[巩固训练]

[基础知识]

1、 (1)互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.

(2)对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.

6、有一个表面都涂有红颜色的正方体，被均匀地锯成了1000个小正方体,将这些正方体混合后，放入一个口袋内.

(1)从该袋中任抽取一个正方体，恰有两个面涂有红色的概率是多少?

(2)从袋中任取两个正方体，其中至少有一个面上有红色的概率是多少?

5、8支球队中有3支弱队，以抽签的方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支，求： (1)A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；

(2)A组中至少有两支弱队的概率．

4、一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇。若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________

3、袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是　　　　　　　 .

2、将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具)先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是　　　　　　　　

(A)　　　(B)　　　(C)　　　　　(D)

1、数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为(　　　 )

[基础知识]

等可能性事件的概率.

[题例分析]

例1、　　　　 某班有学生36人，血型分别为A型12人,B型10人,AB型8人,O型6人，现从中抽出2人，求这两人血型不相同的概率.

解:P(两人血型相同)＝P(两人血型均为A型)+P(两人血型均为B型)+P(两人血型均为AB型)+P(两人血型均为O型)＝.

所以，P(两人血型不同)＝1－.

点拨:从四种血型中抽出2种有C²₄＝6种，依次分类则情形较复杂，所以本题用间接法较简便.

例2、从男、女学生共有36名的班级中,任意选出两名委员,任何人都有同样的机会当选,如果选得同性委员的概率等于，求男、女相差几名？

解：设男生有x名，则女生有36－x名，选得2名委员都是男性的概率为＝.选得两名委员都是女性的概率为＝.

以上两种选法是互斥的，所以选得两名委员是同性委员的概率等于其概率和.

依题意+＝.解得x＝15或x＝21.

即该班男生有15名，女生有36－15＝21人或者男生有21人，女生有36－21＝15人，总之，男女相差6名.

例3、在袋中装30个小球，其中彩球有n个红色，5个蓝色,10个黄色，其余为白色，求：

(1)如果已经从中取定了5个黄球和3个蓝球，并将它们编上了不同的号码后排成一排，那么使蓝色小球不相邻的排法有多少种？

(2)如果从袋中取出3个都是颜色相同的彩球(不含白色)的概率是，且n≥2，计算红球有几个？

(3)根据(2)的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个红球的概率？

解：(1)将5个黄球排成一排共有A⁵₅种排法，将3个蓝球放在5个黄球所形成的6个空位上，有A³₆种排法.∴所求的排法为A⁵₅·A³₆＝14400(种).

(2)取3个球的种数为C³₃₀＝4060，设“3个球全是红色”为事件A，“3个球全是蓝色”为事件B.“3个球都是黄色”为事件C，则P(B)＝，P(C)＝.

∵A、B、C彼此互斥，∴P(A+B+C)＝P(A)+P(B)+P(C)，

即＝P(A)+.∴P(A)＝0，即取3个球，是红球的个数小于或等于2.

又∵n≥2，故n＝2.

(3)记“3个球至少有一个是红球”为事件D，则为“3个球中没有红球”，则

P(D)＝1－P()＝1－＝.

例4、一种电器控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入一箱，为了找出该箱中的二等品，我们把该箱中产品逐一取出进行测试.

　 (1)求前两次取出都是二等品的概率；

　 (2)求第二次取出的是二等品的概率；

　 解：(1)四件产品逐一取出方式共有A种不同方式.

　　　 前两次取出都是二等品的方式共有A·A种不同方式.

　　　 所以前两次取出都是二等品的概率为：　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)第二次取出是二等品共有：，

　　　 所以第二次取出是二等品的概率是：　　　　　　　　　　

[巩固训练]

6、若=，求(1)―的值。(2)的值。