如图，以长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的一个顶点D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．已知点B₁的坐标是（2，1，1）．
（1）证明向量

AD1

，

A1C1

，

BA1

是共面向量；
（2）求异面直线AC₁与A₁D所成角的余弦值；
（3）求二面角C-AC₁-D的平面角的余弦值．

如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E为PB的中点，cos＜

DP

，

AE

＞=

3

3

，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为．

在矩形ABCD中，|AB|=2

3

，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系（如图所示）．若R、R′分别在线段0F、CF上，且

|OR|

|OF|

=

|CR′|

|CF|

=

1

n

．
（Ⅰ）求证：直线ER与GR′的交点P在椭圆Ω：

x2

3

+y²=1上；
（Ⅱ）若M、N为椭圆Ω上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为

2

3

，求证：直线MN过定点；并求△GMN面积的最大值．

（2013•黄冈模拟）在矩形ABCD中，|AB|=2

3

，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系（如图所示）．若R、R′分别在线段0F、CF上，且

|OR|

|OF|

=

|CR′|

|OF|

=

1

n

．
（Ⅰ）求证：直线ER与GR′的交点P在椭圆Ω：

x2

3

+y²=1上；
（Ⅱ）若M、N为椭圆Ω上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为

2

3

，求证：直线MN过定点．