题目内容

如图,以长方体ABCD-A1B1C1D1的一个顶点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.已知点B1的坐标是(2,1,1).
(1)证明向量
AD1
A1C1
BA1
是共面向量;
(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值;
(3)求二面角C-AC1-D的平面角的余弦值.
分析:(1)由条件求得
AD1
.
A1C1
BA1
的坐标,可得
AD1
=
.
A1C1
+
BA1
,从而判断向量
AD1
.
A1C1
BA1

是共面向量.
(2)求得
AC1
A1D
 的坐标,由此求得cos<
AC1
A1D
>=
AC1
A1D
|
AC1
|•|
A1D
|
的值,可得异面直线AC1
与A1D所成角的余弦值.
(3)求出平面ACC1的法向量
p
=(1,2,0),平面A C1D的法向量
q
=(0,1,-1),可得cos<
p
q

=
10
5
,由于向量
p
q
的夹角等于二面角C-AC1-D的平面角,可得所求二面角C-AC1-D的平面角的余弦值.
解答:解:(1)证明:∵长方体ABCD-A1B1C1D1的一个顶点B1的坐标是(2,1,1),D(0,0,0),
∴A(2,0,0),A1(2,0,1),D1(0,0,1),C(0,1,0),C1(0,1,1),B(2,1,0),
AD1
=(0,0,1)-(2,0,0)=(-2,0,1),
AC1
=(0,1,1)-(2,0,1)=(-2,1,0),
BA1
=(2,0,1)-(2,1,0)=(0,-1,1),
AD1
=
.
A1C1
+
BA1
,向量
AD1
.
A1C1
BA1
 是共面向量.
(2)
AC1
=(0,1,1)-(2,0,0)=(-2,1,1),
A1D
=(0,0,0)-(2,0,1)=(-2,0,-1),
故 cos<
AC1
A1D
>=
AC1
A1D
|
AC1
|•|
A1D
|
=
4-1
6
5
=
30
10

可得异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为
30
10

(3)设平面ACC1的法向量
p
=(a,b,c),
AC
=(-2,1,0),
CC1
=(0,0,1)
由p⊥
AC
,p⊥
CC1
,可得
p
AC
=0
p
CC1
,即
b=2a
c=0

可取p=(1,2,0),设平面A C1D的法向量
q
=(m,n,k),由于
DA
=(2,0,0),
DC1
=(0,1,1),
q
DA
q
DC1
,得
q
DC1
=0
q
DA
=0
,即
n=-k
m=0
,故可取
q
=(0,1,-1),
cos<
p
q
>=
0+2+0
5
2
=
10
5
,由于向量
p
q
的夹角等于二面角C-AC1-D的平面角,
故所求二面角C-AC1-D的平面角的余弦值为
10
5
点评:本题主要考查两个向量共面的条件,两个向量坐标形式的运算,两个向量的夹角公式的应用,求异面直线所成的角、二面角的大小,属于中档题.
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