1．给出下列四个函数：①，②，③，④,其中在是增函数的有(　 )

A．0个　　　　　 B．1个　　　　 C．2 个　　　　 D．3个

例1．判断函数的奇偶性及周期性。

分析：<1>定义域：

　　 ∴ f(x)定义域关于原点对称，如图：

　　 又

　　 ∴ f(-x)=-f(x),

　　 ∴ f(x)周期p的奇函数。

　　 评述：研究性质时关注定义域。

例2．<1>设f(x)定义在R上的偶函数，且，又当x∈[-3,-2]时，f(x)=2x，求f(113.5)的值。

　　 <2>已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。

解：<1>∵

　 　∴ ，　 ∴ f(x)周期T=6，

　 　∴ f(113.5)=f(6´19-0.5)=f(-0.5).

　　 当x∈(-1,0)时，x+3∈(2,3).

　　 ∵ x∈(2,3)时，f(x)=f(-x)=2x.　

　　 ∴ f(x+3)=-2(x+3).

　　 ∴ ,

　　 ∴ .

　　 <2>(法1)(从解析式入手)

　　 ∵ x∈(1,2), 则-x∈(-2,-1),　

　　 ∴ 2-x∈(0,1),　 ∵ T=2.

　　 ∵ f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x.

　　 ∴ f(x)=3-x,　 x∈(1,2).

　　 小结：由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。

(法2)(图象)

f(x)=f(x+2)

如图：x∈(0,1), f(x)=x+1.

　　　 x∈(-1,0)→f(x)=-x+1.

　　　 x∈(1,2)→f(x)=-(x-2)+1=3-x.

注：从图象入手也可解决，且较直观。

例3．<1>若x∈(1,2)时，不等式(x-1)²<log_ax恒成立，求a的取值范围。

　　 <2>已知二次函数f(x)=x²+ax+5对任意t都有f(t)=f(-4-t)，且在闭区间Z[m,0]上有最大值5，最小值1，求m的取值范围。

分析：<1>设 y₁=(x-1)²,　 　y₂=log_ax

　 　　x∈(1,2)，即x∈(1,2)时，曲线y₁在y₂的下方，如图：

　　 ∴ a=2时，x∈(1,2)也成立，∴a∈(1,2].

　　 小结：①数形结合　 ②变化的观点

　　 ③注意边界点，a=2，x取不到2， ∴仍成立。

　　 <2>∵f(t)=f(-4-t),　 ∴ f(-2+t)=f(-2-t)

　 　∴ f(x)图象关于x=-2对称， ∴ a=4, ∴ f(x)=x²+4x+5.

　　 ∴ f(x)=(x+2)²+1, 动区间：[m,0],

　　 ∵ x∈[m,0], [f(x)]_max=5, [f(x)]_min=1,

　 　∴ m∈[-4,0].

　 　小结：函数问题，充分利用数形结合的思想，并应用运动变化的观点研究问题。如二次函数问题中常见问题，定函数动区间及动函数和定区间，但两类问题若涉及函数最值，必然要考虑函数的单调区间，而二次函数的单调性研究关键在于其图象对称轴的位置。以发展的眼光看，还可解决一类动直线定曲线相关问题。

例4．已知函数

　　 (I)判定f(x)在x∈(-∞,-5)上的单调性，并证明。

　　 (II)设g(x)=1+log_a(x-3)，若方程f(x)=g(x)有实根，求a的取值范围。

分析：(I)任取x₁<x₂<-5,

　　 则：,

　　 ∵ (x₁-5)(x₂+5)-(x₁+5)(x₂-5)=10(x₁-x₂)<0

　　 又 (x₁-5)(x₂+5)>0 且(x₁+5)(x₂-5)>0

　 　,

　　 ∴ 当a>1时，f(x₁)-f(x₂)<0, ∴ f(x)单调递增，

　　　 当0<a<1时，f(x₁)-f(x₂)>0,∴f(x)单调递减。

　　 (II)若f(x)=g(x)有实根，即：。

　　 ∴

　　 ∴ 即方程：有大于5的实根。

　　 (法1)　 (∵ x>5)

　 　∴ .

　　 (法2)(实根分布)(1)有大于5的实根，

　　 方程(1)化为：ax²+(2a-1)x-15a+5=0.

　　 ∵ a>0, ∴Δ=64a²-24a+1≥0.

　　 ①有一根大于5 .

　　 ②两根均大于.

　　 小结：实根分布即利用二次函数图象及不等式组解决问题。用此数形结合方法解决问题时，具体步骤为：①二次函数图象开口方向。②图象对称轴的位置。③图象与x轴交点。④端点函数值的符号。此题(2)中，也可以用韦达定理解决。

小结：

　　 函数部分是高考考察重点内容，应当对其予以充分的重视，并配备必要例题，理顺基本方法体系。

练习：

　　 已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1,若m,n∈[-1,1]，m+n≠0时,有。

<1>用定义证明f(x)在[-1，1]上是增函数。

<2>若f(x)≤t²-2at+1对所有x∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围。

7．函数的图象

<1>基本函数图象

<2>图象变换 ①平移 　②对称(取绝对值)　 ③放缩

易错点：复合变换时，有两种变换顺序不能交换。如下：

<I>取绝对值(对称)与平移

例：由图象，经过如何变换可得下列函数图象？

　　 <1> 　　　<2>

分析：<1>

　　　 <2>

评述：要由得到只能按上述顺序变换，两顺序不能交换。

<II>平移与关于y=x对称变换

例：y=f(x+3)的反函数与y=f^-1(x+3)是否相同？

分析：①的反函数。

　　　 ②

　　 ∴两个函数不是同一个函数(也可以用具体函数去验证。)

6．比大小问题

基本方法：<1>粗分。如以“0”，“1”，“-1”等为分界点。

<2>搭桥　　　　 <3>结合单调性，数形结合

<4>比差、比商　 <5>利用函数图象的凸凹性。

5．函数的奇偶性，单调性，周期性。

关注问题：<1>判定时，先考察定义域。

<2>用定义证明单调性时，最好是证哪个区间上的单调性，在哪个区间上任取x₁及x₂。

<3>求复合函数单调区间问题，内、外层函数单调区间及定义域，有时需分类讨论。

<4>由周期性及奇偶性(对称性)求函数解析式。

<5>“奇偶性”+“关于直线x=k”对称，求出函数周期。

4．值域问题

基本方法：<1>化为基本函数--换元(新元范围)。化为二次函数，三角函数，……并结合函数单调性，结合函数图象，求值域。

<2>均值不等式：--形如和，积，及形式。注意识别及应用条件。

<3>几何背景：--解析几何如斜率，曲线间位置关系等等。

易错点：<1>考察定义域

　　　　 <2>均值不等式使用条件

3．关于对应法则

注：<1>分段函数，不同区间上对应法则不同

　　 <2>联系函数性质求解析式

2．关于定义域

<1>复合函数的定义域，限制条件要找全。

<2>应用问题实际意义。

<3>求值域，研究函数性质(周期性，单调性，奇偶性)时要首先考察定义域。

<4>方程，不等式问题先确定定义域。

1．集合与映射

<1>认清集合中的代表元素

<2>有关集合运算中，辨清：子集，真子集，非空真子集的区别。还应注意空集的情形，验算端点。

10.分段函数 　　 11. 函数方程及不等式