16.(人教版84页B组第5题)

试着举几个满足“对定义域内任意实数,都有”的函数例子.

变式1:设函数f(x)的定义域是N*,且,则f(25)= ___________________.

解析:由

同理,f(3)-f(2)=3.

……

f(25)-f(24)=25.

f(25)=1+2+3+…+25=325.

答案:325

变式2:设是定义在R上的偶函数,其图象关于直线对称,对任意,都有

(1)设,求

(2)证明是周期函数.

(1)解:由 x∈[0,1].

因为f(1)=f(f()=[f()]2,及f(1)=2,所以f()=2.

因为f()=f(f()=[f()]2,及f()=2,所以f()=2.

(2)证明:依题设关于直线x=1对称,故f(x)=f(1+1-x)f(x)=f(2-x),x∈R.

又由f(x)是偶函数知f(-x)=f(x),x∈R,所以f(-x)=f(2-x),x∈R.将上式中-xx代换,得f(x)=f(x+2),x∈R.

这表明是R上的周期函数,且2是它的一个周期.

变式3:设函数定义在R上,对任意实数mn,恒有且当

(1)求证:f(0)=1,且当x<0时,f(x)>1;

(2)求证:f(x)在R上递减;

(3)设集合A={(xy)|f(x2f(y2)>f(1)},B={(xy)|f(axy+2)=1,

a∈R},若AB=,求a的取值范围.

(1)证明:在f(m+n)=f(m)f(n)中,

m=1,n=0,得f(1)=f(1)f(0).

∵0<f(1)<1,∴f(0)=1.

x<0,则-x>0.令m=xn=-x,代入条件式有f(0)=f(xf(-x),而f(0)=1,

f(x)=>1.

(2)证明:设x1x2,则x2x1>0,∴0<f(x2x1)<1.

m=x1m+n=x2,则n=x2x1,代入条件式,得f(x2)=f(x1f(x2x1),

即0<<1.∴f(x2)<f(x1).

f(x)在R上单调递减.

(3)    解:由

又由(2)知f(x)为R上的减函数,∴点集A表示圆的内部.由f(axy+2)=1得axy+2=0点集B表示直线axy+2=0.

AB=,∴直线axy+2=0与圆相离或相切。

于是

设计意图:考察抽象函数的性质及抽象运算的能力和数形结合的思想。

13.(人教版第49页B组第5题)

证明:

(1)若,则

(2)若,则

变式1:如图所示,是定义在[0,1]上的四个函数,其中满足性质:“对[0,1]中任意的,任意恒成立”的只有           (   )

                     

A.    B.       C.   D.

解:当时,符合条件的函数是凹函数,从图像可看出有,选择A.

变式2:.设函数=的图象如下图所示,则abc的大小关系是

A.abc           B.acb           C.bac           D.cab

解析:f(0)==0,∴b=0.f(1)=1,∴=1.

a=c+1.由图象看出x>0时,f(x)>0,即x>0时,有>0,

a>0.又f(x)=

x>0时,要使f(x)在x=1时取最大值1,需x+≥2

当且仅当x==1时.∴c=1,此时应有f(x)==1.∴a=2.

答案:B

变式3:如图所示,单位圆中弧AB的长为表示弧AB与弦AB

所围成的弓形面积的2倍,则函数的图象是        

答案:( D )

设计意图:考察图象与式子运算的能力

14:(北师大版136页B组第1题)

判断下列方程在(0,10)内是否存在实数解,并说明理由.

(1)  (2)

变式1:设二次函数,方程的两个根满足.  当时,证明.

分析:在已知方程两根的情况下,根据函数与方程根的关系,可以写出函数的表达式,从而得到函数的表达式.

证明:由题意可知.

,

,

∴  当时,.

,

  

∴  ,

综上可知,所给问题获证.

变式2:已知二次函数

  (1)若a>b>c, 且f(1)=0,证明f(x)的图象与x轴有2个交点;

  (2)在(1)的条件下,是否存在m∈R,使得f(m)= a成立时,f(m+3)为正数,若存在,证明你的结论,若不存在,说明理由;

  (3)若对,方程有2个不等实根,

解: (1)

 

的图象与x轴有两个交点.

  (2),∴1是的一个根,由韦达定理知另一根为

 

 在(1,+∞)单调递增,,即存在这样的m使

 

 (3)令,则是二次函数.

 有两个不等实根,且方程的根必有一个属于.

设计意图:考察函数的零点

 0  52257  52265  52271  52275  52281  52283  52287  52293  52295  52301  52307  52311  52313  52317  52323  52325  52331  52335  52337  52341  52343  52347  52349  52351  52352  52353  52355  52356  52357  52359  52361  52365  52367  52371  52373  52377  52383  52385  52391  52395  52397  52401  52407  52413  52415  52421  52425  52427  52433  52437  52443  52451  447348 

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网