19．(本小题满分12分)

在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线()相交于两点．

(I)若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；

(II)是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．(此题不要求在答题卡上画图)

10．已知直线(是非零常数)与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有(　　 )

A．60条　　　　　　　　　　 B．66条　　　　　　　 C．72条　　　　　　　 D．78条

7．双曲线的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的准线为，焦点为与的一个交点为，则等于(　　 )

A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

19．解：由条件知，设，．

(I)当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，，

此时．

当不与轴垂直时，设直线的方程是．

代入，有．

则是上述方程的两个实根，所以，，

于是

．

综上所述，为常数．

(II)解法一：设，则，，

，，由得：

即

于是的中点坐标为．

当不与轴垂直时，，即．

又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得

，即．

将代入上式，化简得．

当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

所以点的轨迹方程是．

解法二：同解法一得……………………………………①

当不与轴垂直时，由(I) 有．…………………②

．………………………③

由①②③得．…………………………………………………④

．……………………………………………………………………⑤

当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有

．整理得．

当时，点的坐标为，满足上述方程．

当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

故点的轨迹方程是．

湖北理

19．(本小题满分13分)

已知双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于两点，点的坐标是．

(I)证明，为常数；

(II)若动点满足(其中为坐标原点)，求点的轨迹方程．

9．设分别是椭圆()的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为(为半焦距)的点，且，则椭圆的离心率是(　　 )

A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

20．解：由条件知，，设，．

解法一：(I)设，则则，，

，由得

即

于是的中点坐标为．

当不与轴垂直时，，即．

又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得

，即．

将代入上式，化简得．

当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

所以点的轨迹方程是．

(II)假设在轴上存在定点，使为常数．

当不与轴垂直时，设直线的方程是．

代入有．

则是上述方程的两个实根，所以，，

于是

．

因为是与无关的常数，所以，即，此时=．

当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，

此时．

故在轴上存在定点，使为常数．

解法二：(I)同解法一的(I)有

当不与轴垂直时，设直线的方程是．

代入有．

则是上述方程的两个实根，所以．

．

由①②③得．…………………………………………………④

．……………………………………………………………………⑤

当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有

．整理得．

当时，点的坐标为，满足上述方程．

当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

故点的轨迹方程是．

(II)假设在轴上存在定点点，使为常数，

当不与轴垂直时，由(I)有，．

以上同解法一的(II)．

湖南文

20．(本小题满分12分)

已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．

(I)若动点满足(其中为坐标原点)，求点的轨迹方程；

(II)在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

9．设分别是椭圆()的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是(　　 )

A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．

19、(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，

(1)若，求的值；(5分)

(2)若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；(5分)

(3)试问(2)的逆命题是否成立？说明理由。(4分)

解：(1)设过C点的直线为，所以，即，设A，=，，因为，所以

，即，

所以，即所以

(2)设过Q的切线为，，所以，即，它与的交点为M，又，所以Q，因为,所以，所以M,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。

(3)(2)的逆命题是成立，由(2)可知Q，因为PQ轴，所以

因为，所以P为AB的中点。