3.　

例1、如图示，长为l 的轻质硬棒的底端和中点各固定一个质量为m的小球，为使轻质硬棒能绕转轴O转到最高点，则底端小球在如图示位置应具有的最小速度v= 　　　　　　　　　　。

解：系统的机械能守恒，ΔE_P +ΔE_K=0

因为小球转到最高点的最小速度可以为0 ，所以，

例 2. 如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连结，A的质量为4m，B的质量为m，开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。物块A与斜面间无摩擦。设当A沿斜面下滑S 距离后，细线突然断了。求物块B上升离地的最大高度H.

解：对系统由机械能守恒定律

4mgSsinθ – mgS = 1/2× 5 mv²

∴　 v²=2gS/5

细线断后，B做竖直上抛运动，由机械能守恒定律

mgH= mgS+1/2× mv²

∴　 H = 1.2 S　 　

例 3. 如图所示，半径为R、圆心为O的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上．一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端都系上质量为m的重物，忽略小圆环的大小。

(1)将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧θ=30°的位置上(如图)．在

两个小圆环间绳子的中点C处，挂上一个质量M= m的重物，使两个小圆

环间的绳子水平，然后无初速释放重物M．设绳子

与大、小圆环间的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距离．

(2)若不挂重物M．小圆环可以在大圆环上自由移动，且绳子与大、小圆环间及大、小圆环之间的摩擦均可以忽略，问两个小圆环分别在哪些位置时，系统可处于平衡状态?

解：(1)重物向下先做加速运动，后做减速运动，当重物速度

　为零时，下降的距离最大．设下降的最大距离为h ，

由机械能守恒定律得

解得　

(另解h=0舍去)

(2)系统处于平衡状态时，两小环的可能位置为

a．　 两小环同时位于大圆环的底端．

b．两小环同时位于大圆环的顶端．

c．两小环一个位于大圆环的顶端，另一个位于大圆环的底端．

d．除上述三种情况外，根据对称性可知，系统如能平衡，则两小圆环的位置一定关于大圆环竖直对称轴对称．设平衡时，两小圆环在大圆环竖直对称轴两侧α角的位置上(如图所示)．

对于重物，受绳子拉力与重力作用， 有T=mg

对于小圆环，受到三个力的作用，水平绳的拉力T、 竖直绳子的拉力T、大圆环的支持力N.

两绳子的拉力沿大圆环切向的分力大小相等，方向相反

得α=α′, 而α+α′=90°，所以α=45 °

例 4. 如图质量为m₁的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m₂的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都牌伸直状态，A上方的一段沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为m₃的物体C上升。若将C换成另一个质量为(m₁+m₃)物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B则离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g。

解:开始时，B静止平衡，设弹簧的压缩量为x_1,

挂C后，当B刚要离地时，设弹簧伸长量为x₂，有

此时，A和C速度均为零。从挂C到此时，根据机械能守恒定律弹簧弹性势能的改变量为

将C换成D后，有

联立以上各式可以解得

针对训练

2.　　 对机械能守恒定律的理解：

(1)系统在初状态的总机械能等于末状态的总机械能.

即　 　E₁ = E₂ 或　　 1/2mv₁² + mgh₁= 1/2mv₂² + mgh₂

(2)物体(或系统)减少的势能等于物体(或系统)增加的动能，反之亦然。

即　　　　　 -ΔE_P = ΔE_K

(3)若系统内只有A、B两个物体，则A减少的机械能E_A等于B增加的机械能ΔE _B即　　　　　 -ΔE_A = ΔE_B

_{二、例题导航：}

1.　　 在只有重力和弹簧的弹力做功的情况下，物体的动能和势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变.

13. 如图10所示，一个弹簧台秤的秤盘和弹簧质量均不计，盘内放一个质量的静止物体P，弹簧的劲度系数。现施加给P一个竖直向上的拉力F，使P从静止开始向上做匀加速运动。已知在头0.2s内F是变力，在0.2s以后，F是恒力，取，求拉力F的最大值和最小值。

12. 如图9所示，在倾角为的长斜面上有一带风帆的滑块，从静止开始沿斜面下滑，滑块质量为m，它与斜面间的动摩擦因数为，帆受到的空气阻力与滑块下滑速度的大小成正比，即。

　　 (1)写出滑块下滑加速度的表达式。

　　 (2)写出滑块下滑的最大速度的表达式。

　　 (3)若，从静止下滑的速度图象如图所示的曲线，图中直线是t＝0时的速度图线的切线，由此求出和k的值。

11. 如图8所示，A、B两个物体靠在一起放在光滑水平面上，它们的质量分别为。今用水平力推A，用水平力拉B，和随时间变化的关系是。求从t=0到A、B脱离，它们的位移是多少？

9. 如图7所示，传送带AB段是水平的，长20 m，传送带上各点相对地面的速度大小是2 m/s，某物块与传送带间的动摩擦因数为0.1。现将该物块轻轻地放在传送带上的A点后，经过多长时间到达B点？(g取)

8. 如图6所示，倾斜的索道与水平方向的夹角为37°，当载物车厢加速向上运动时，物对车厢底板的压力为物重的1.25倍，这时物与车厢仍然相对静止，则车厢对物的摩擦力的大小是物重的________倍。

7. 质量的物体在拉力F作用下沿倾角为30°的斜面斜向上匀加速运动，加速度的大小为，力F的方向沿斜面向上，大小为10N。运动过程中，若突然撤去拉力F，在撤去拉力F的瞬间物体的加速度的大小是____________；方向是____________。