已知F₁，F₂为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F₂作垂直于x轴的直线MF₂交椭圆于M，设|MF₂|=d．
（1）证明：d，b，a成等比数列；
（2）若M的坐标为(

2

，1)，求椭圆C的方程；
[文科]在（2）的椭圆中，过F₁的直线l与椭圆C交于A、B两点，若

OA

•

OB

=0，求直线l的方程．
[理科]在（2）的椭圆中，过F₁的直线l与椭圆C交于A、B两点，若椭圆C上存在点P，使得

OP

=

OA

+

OB

，求直线l的方程．

（文科做（1）（2）（4），理科全做）
已知过抛物线C₁：y²=2px（p＞0）焦点F的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点 
（1）证明：y₁y₂=-p²且（y₁+y₂）²=2p（x₁+x₂-p）；
（2）点Q为线段AB的中点，求点Q的轨迹方程；
（3）若x₁=1，x₂=4，以坐标轴为对称轴的椭圆或双曲线C₂过A、B两点，求曲线C₁和C₂的方程；
（4）在（3）的条件下，若曲线C₂的两焦点分别为F₁、F₂，线段AB上有两点C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）（x₃＜x₄），满足：①S△F1F2A-S△F1F2C=S△F1F2D-S△F1F2B，②AB=3CD．在线段F₁ F₂上是否存在一点P，使PD=

11

，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线G：x=a²上的射影依次为点D、E．
（1）若抛物线x2=4

3

y的焦点为椭圆C 的上顶点，求椭圆C的方程；（2）（理科生做）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；
否则说明理由．
（文科生做）若N(

a2+1

2

，0)为x轴上一点，求证：

AN

=λ

NE

．