2006年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)

理科数学

 

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。

考生注意事项:

1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。

2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

3.答第Ⅱ卷时,必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。

4.考试结束,监考人员将试题卷和答题卡一并收回。

参考公式:

如果时间A、B互斥,那么

如果时间A、B相互独立,那么

如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

球的表面积公式,其中R表示球的半径

球的体积公式,其中R表示球的半径

 

第Ⅰ卷(选择题  共60分)

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合M={x|},N={y|y=3x2+1,xÎR},则MÇN=(   )

A.Æ   B. {x|x³1}   C.{x|x>1}  D. {x| x³1或x<0}

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2、已知复数z满足(+3i)z=3i,则z=(   )

A.  B.   C.   D.

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3、若a>0,b>0,则不等式-b<<a等价于(    )

A.<x<0或0<x<   B.-<x<   C.x<-或x>   D.x<或x>

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4、设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若=-4

则点A的坐标是(   )

A.(2,±2)  B. (1,±2)  C.(1,2)D.(2,2)

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5、对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)³0,则必有(   )

A.  f(0)+f(2)<2f(1)  B. f(0)+f(2)£2f(1)

B.  f(0)+f(2)³2f(1)  C. f(0)+f(2)>2f(1)

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6、若不等式x2+ax+1³0对于一切xÎ(0,〕成立,则a的取值范围是(    )

A.0  B. ?2   C.-  D.-3

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7、已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若,且A、B、C三点共线(该直线不过原点O),则S200=(   )

A.100   B. 101  C.200  D.201

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8、在(x-)2006 的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x=时,S等于(  )

A.23008   B.-23008   C.23009   D.-23009

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9、P是双曲线的右支上一点,M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为(   )

A. 6  B.7   C.8   D.9

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10、将7个人(含甲、乙)分成三个组,一组3人,另两组2 人,不同的分组数为a,甲、乙分到同一组的概率为p,则a、p的值分别为(   )

A.  a=105  p=  B.a=105  p=  C.a=210  p=  D.a=210  p=

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11、如图,在四面体ABCD中,截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O,且与BC,DC分别截于E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积分别是S1,S2,则必有(   )

A.     S1<S2

B.     S1>S2

C.     S1=S2

D.     S1,S2的大小关系不能确定

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12、某地一年的气温Q(t)(单位:ºc)与时间t(月份)之间的关系如图(1)所示,已知该年的平均气温为10ºc,令G(t)表示时间段〔0,t〕的平均气温,G(t)与t之间的函数关系用下列图象表示,则正确的应该是(    )

 

 

 

 

 

 

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理科数学

第Ⅱ卷(非选择题  共90分)

注意事项:

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请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效。

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二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填写在答题卡的相应位置。

13、数列{}的前n项和为Sn,则Sn=______________

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14、设f(x)=log3(x+6)的反函数为f-1(x),若〔f-1(m)+6〕〔f-1(n)+6〕=27

则f(m+n)=___________________

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15、如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,ÐACB=90°,AC=6,BC=CC1=,P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值是___________

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16、已知圆M:(x+cosq)2+(y-sinq)2=1,

直线l:y=kx,下面四个命题:

(A)     对任意实数k与q,直线l和圆M相切;

(B)      对任意实数k与q,直线l和圆M有公共点;

(C)      对任意实数q,必存在实数k,使得直线l

和圆M相切

(D)对任意实数k,必存在实数q,使得直线l

和圆M相切

其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号)

 

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三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17、(本小题满分12分)

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1时都取得极值

(1)       求a、b的值与函数f(x)的单调区间

(2)       若对xÎ〔-1,2〕,不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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18、(本小题满分12分)

某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球,1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球可获得奖金10元;摸出2个红球可获得奖金50元,现有甲,乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次,令x表示甲,乙摸球后获得的奖金总额。求:

(1)x的分布列   (2)x的的数学期望

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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19、(本小题满分12分)

如图,已知△ABC是边长为1的正三角形,M、N分别是

边AB、AC上的点,线段MN经过△ABC的中心G,

设ÐMGA=a()

(1)       试将△AGM、△AGN的面积(分别记为S1与S2

表示为a的函数

(2)       求y=的最大值与最小值

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20、(本小题满分12分)

如图,在三棱锥A-BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形

(1)       求证:AD^BC

(2)       求二面角B-AC-D的大小

(3)       在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30°角?若存在,确定E的位置;若不存在,说明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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21、(本大题满分12分)

如图,椭圆Q:(a>b>0)的右焦点F(c,0),过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A、B两点,P是线段AB的中点

(1)       求点P的轨迹H的方程

(2)       在Q的方程中,令a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0<q£ ),确定q的值,使原点距椭圆的右准线l最远,此时,设l与x轴交点为D,当直线m绕点F转动到什么位置时,三角形ABD的面积最大?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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22、(本大题满分14分)

已知数列{an}满足:a1=,且an

(1)       求数列{an}的通项公式;

(2)       证明:对于一切正整数n,不等式a1?a2?……an<2?n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2006年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)

理科数学

 

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。

考生注意事项:

试题详情

1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。

试题详情

2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

试题详情

3.答第Ⅱ卷时,必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。

试题详情

4.考试结束,监考人员将试题卷和答题卡一并收回。

参考公式:

如果时间A、B互斥,那么

如果时间A、B相互独立,那么

如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

球的表面积公式,其中R表示球的半径

球的体积公式,其中R表示球的半径

 

第Ⅰ卷(选择题  共60分)

试题详情

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合M={x|},N={y|y=3x2+1,xÎR},则MÇN=( C  )

A.Æ   B. {x|x³1}   C.{x|x>1}  D. {x| x³1或x<0}

解:M={x|x>1或x£0},N={y|y³1}故选C

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2、已知复数z满足(+3i)z=3i,则z=( D  )

A.  B.   C.   D.

解:故选D

 

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3、若a>0,b>0,则不等式-b<<a等价于( D   )

A.<x<0或0<x<   B.-<x<   C.x<-或x>   D.x<或x>

解:

 

 

 

 

 

 

 

故选D

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4、设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若=-4

则点A的坐标是(B   )

A.(2,±2)  B. (1,±2)  C.(1,2)D.(2,2)

解:F(1,0)设A(,y0)则=( ,y0),=(1-,-y0),由

? =-4Þy0=±2,故选B

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5、对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)³0,则必有( C  )

C.  f(0)+f(2)<2f(1)  B. f(0)+f(2)£2f(1)

C.  f(0)+f(2)³2f(1)  D. f(0)+f(2)>2f(1)

解:依题意,当x³1时,f¢(x)³0,函数f(x)在(1,+¥)上是增函数;当x<1时,f¢(x)£0,f(x)在(-¥,1)上是减函数,故f(x)当x=1时取得最小值,即有

f(0)³f(1),f(2)³f(1),故选C

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6、若不等式x2+ax+1³0对于一切xÎ(0,)成立,则a的取值范围是( C   )

A.0  B. ?2   C.-  D.-3

解:设f(x)=x2+ax+1,则对称轴为x=

若³,即a£-1时,则f(x)在〔0,〕上是减函数,应有f()³0Þ

-£x£-1

若£0,即a³0时,则f(x)在〔0,〕上是增函数,应有f(0)=1>0恒成立,故a³0

若0££,即-1£a£0,则应有f()=恒成立,故-1£a£0

综上,有-£a故选C

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7、已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若,且A、B、C三点共线(该直线不过原点O),则S200=( A  )

A.100   B. 101  C.200  D.201

解:依题意,a1+a200=1,故选A

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8、在(x-)2006 的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x=时,S等于(B  )

A.23008   B.-23008   C.23009   D.-23009

解:设(x-)2006=a0x2006+a1x2005+…+a2005x+a2006

则当x=时,有a0()2006+a1()2005+…+a2005()+a2006=0 (1)

当x=-时,有a0()2006-a1()2005+…-a2005()+a2006=23009 (2)

(1)-(2)有a1()2005+…+a2005()=-23009¸2=-23008

故选B

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9、P是双曲线的右支上一点,M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( D  )

A. 6  B.7   C.8   D.9

解:设双曲线的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),则这两点正好是两圆的圆心,当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大,此时

|PM|-|PN|=(|PF1|-2)-(|PF2|-1)=10-1=9故选B

试题详情

10、将7个人(含甲、乙)分成三个组,一组3人,另两组2 人,不同的分组数为a,甲、乙分到同一组的概率为p,则a、p的值分别为(  A )

B.  a=105  p=  B.a=105  p=  C.a=210  p=  D.a=210  p=

解:a==105

甲、乙分在同一组的方法种数有

(1)       若甲、乙分在3人组,有=15种

(2)       若甲、乙分在2人组,有=10种,故共有25种,所以P=

故选A

 

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11、如图,在四面体ABCD中,截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O,且与BC,DC分别截于E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积分别是S1,S2,则必有(   )

A.     S1<S2

B.     S1>S2

C.     S1=S2

D.     S1,S2的大小关系不能确定

解:连OA、OB、OC、OD

则VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD

VA-EFC=VO-ADC+VO-AEC+VO-EFC又VA-BEFD=VA-EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故SABD+SABE+SBEFD=SADC+SAEC+SEFC又面AEF公共,故选C

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12、某地一年的气温Q(t)(单位:ºc)与时间t(月份)之间的关系如图(1)所示,已知该年的平均气温为10ºc,令G(t)表示时间段〔0,t〕的平均气温,G(t)与t之间的函数关系用下列图象表示,则正确的应该是(  A  )

 

 

 

 

 

 

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解:结合平均数的定义用排除法求解

 

理科数学

第Ⅱ卷(非选择题  共90分)

注意事项:

试题详情

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效。

试题详情

二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填写在答题卡的相应位置。

13、数列{}的前n项和为Sn,则Sn

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13、解: 

 

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14、设f(x)=log3(x+6)的反函数为f-1(x),若〔f-1(m)+6〕〔f-1(n)+6〕=27

则f(m+n)=___________________

解:f-1(x)=3x-6故〔f-1(m)+6〕?〔f-1(x)+6〕=3m?3n=3m +n=27

\m+n=3\f(m+n)=log3(3+6)=2

 

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15、如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,ÐACB=90°,AC=6,BC=CC1=,P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值是___________

解:连A1B,沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内,如图所示,

试题详情

连A1C,则A1C的长度就是所求的最小值。

通过计算可得ÐA1C1C=90°又ÐBC1C=45°

\ÐA1C1C=135° 由余弦定理可求得A1C=

 

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16、已知圆M:(x+cosq)2+(y-sinq)2=1,

直线l:y=kx,下面四个命题:

(D)     对任意实数k与q,直线l和圆M相切;

(E)      对任意实数k与q,直线l和圆M有公共点;

(F)      对任意实数q,必存在实数k,使得直线l

和圆M相切

(D)对任意实数k,必存在实数q,使得直线l

和圆M相切

其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号)

 

解:圆心坐标为(-cosq,sinq)d=

故选(B)(D)

 

 

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三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17、(本小题满分12分)

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1时都取得极值

(3)       求a、b的值与函数f(x)的单调区间

(4)       若对xÎ〔-1,2〕,不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围。

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17、解:(1)f(xx3+ax2+bx+c,f¢(x3x2+2ax+b

f¢,f¢(1=3+2a+b0

a,b2

f¢(x=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数f(x的单调区间如下表:

x

(-¥,-)

(-,1)

1

(1,+¥)

f¢(x

0

0

f(x

­

极大值

¯

极小值

­

所以函数f(x)的递增区间是(-¥,-)与(1,+¥)

递减区间是(-,1)

(2)f(x=x3-x2-2x+c,xÎ〔-1,2〕,当x=-时,f(x=+c

为极大值,而f(2=2+c,则f(2=2+c为最大值。

要使f(x<c2(xÎ〔-1,2〕)恒成立,只需c2>f(2=2+c

解得c<-1或c>2

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18、(本小题满分12分)

某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球,1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球可获得奖金10元;摸出2个红球可获得奖金50元,现有甲,乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次,令x表示甲,乙摸球后获得的奖金总额。求:

(1)x的分布列   (2)x的的数学期望

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18、解:(1)x的所有可能的取值为0,10,20,50,60

分布列为

x

0

10

20

50

60

P

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(2)Ex=3.3

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19、(本小题满分12分)

如图,已知△ABC是边长为1的正三角形,M、N分别是

边AB、AC上的点,线段MN经过△ABC的中心G,

设ÐMGA=a()

(3)       试将△AGM、△AGN的面积(分别记为S1与S2

表示为a的函数

(4)       求y=的最大值与最小值

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19、解:

(1)       因为G是边长为1的正三角形ABC的中心,

所以   AG=,ÐMAG=,

由正弦定理

则S1=GM?GA?sina=

同理可求得S2

(2)       y==

=72(3+cot2a)因为,所以当a=或a=时,y取得最大值ymax=240

当a=时,y取得最小值ymin=216

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20、(本小题满分12分)

如图,在三棱锥A-BCD中,侧面ABD、ACD

是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,

且AD=,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形

(4)       求证:AD^BC

(5)       求二面角B-AC-D的大小

(6)       在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD

成30°角?若存在,确定E的位置;若不存在,说明理由。

试题详情

20、解法一:

(1)       方法一:作AH^面BCD于H,连DH。

AB^BDÞHB^BD,又AD=,BD=1

\AB==BC=AC  \BD^DC

又BD=CD,则BHCD是正方形,则DH^BC\AD^BC

方法二:取BC的中点O,连AO、DO

则有AO^BC,DO^BC,\BC^面AOD

\BC^AD

(2)       作BM^AC于M,作MN^AC交AD于N,则ÐBMN就是二面角B-AC-D的平面角,因为AB=AC=BC=\M是AC的中点,且MN¤¤CD,则BM=,MN=CD=,BN=AD=,由余弦定理可求得cosÐBMN=

\ÐBMN=arccos

(3)       设E是所求的点,作EF^CH于F,连FD。则EF¤¤AH,\EF^面BCD,ÐEDF就是ED与面BCD所成的角,则ÐEDF=30°。设EF=x,易得AH=HC=1,则CF=x,FD=,\tanÐEDF===解得x=,则CE=x=1

故线段AC上存在E点,且CE=1时,ED与面BCD成30°角。

解法二:此题也可用空间向量求解,解答略

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21、(本大题满分12分)

如图,椭圆Q:(a>b>0)的右焦点F(c,0),过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A、B两点,P是线段AB的中点

(3)       求点P的轨迹H的方程

(4)       在Q的方程中,令a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0<q£ ),确定q的值,使原点距椭圆的右准线l最远,此时,设l与x轴交点为D,当直线m绕点F转动到什么位置时,三角形ABD的面积最大?

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21、解:如图,(1)设椭圆Q:(a>b>0)

上的点A(x1,y1)、B(x2,y2),又设P点坐标为P(x,y),则

1°当AB不垂直x轴时,x1¹x2

由(1)-(2)得

b2(x1-x2)2x+a2(y1-y2)2y=0

     

\b2x2+a2y2-b2cx=0…………(3)

2°当AB垂直于x轴时,点P即为点F,满足方程(3)

故所求点P的轨迹方程为:b2x2+a2y2-b2cx=0

(2)因为,椭圆  Q右准线l方程是x=,原点距l

的距离为,由于c2=a2-b2,a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0<q£)

则==2sin(+)

当q=时,上式达到最大值。此时a2=2,b2=1,c=1,D(2,0),|DF|=1

设椭圆Q:上的点 A(x1,y1)、B(x2,y2),三角形ABD的面积

S=|y1|+|y2|=|y1-y2|

设直线m的方程为x=ky+1,代入中,得(2+k2)y2+2ky-1=0

由韦达定理得y1+y2=,y1y2=,

4S2=(y1-y22=(y1+y22-4 y1y2

令t=k2+1³1,得4S2=,当t=1,k=0时取等号。

因此,当直线m绕点F转到垂直x轴位置时,三角形ABD的面积最大。

 

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22、(本大题满分14分)

已知数列{an}满足:a1=,且an

(3)       求数列{an}的通项公式;

(4)       证明:对于一切正整数n,不等式a1?a2?……an<2?n!

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22、解:

(1)       将条件变为:1-=,因此{1-}为一个等比数列,其首项为

1-=,公比,从而1-=,据此得an=(n³1)…………1°

(2)       证:据1°得,a1?a2?…an

为证a1?a2?……an<2?n!

只要证nÎN*时有>…………2°

显然,左端每个因式都是正数,先证明,对每个nÎN*,有

³1-()…………3°

用数学归纳法证明3°式:

(i)                    n=1时,3°式显然成立,

(ii)                  设n=k时,3°式成立,

即³1-()

则当n=k+1时,

³〔1-()〕?()

=1-()-+()

³1-(+)即当n=k+1时,3°式也成立。

故对一切nÎN*,3°式都成立。

利用3°得,³1-()=1-

=1->

故2°式成立,从而结论成立。

 

 

 

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