摘要：解法一:(1) 方法一:作AH^面BCD于H.连DH.AB^BDÞHB^BD.又AD＝.BD＝1\AB＝＝BC＝AC \BD^DC又BD＝CD.则BHCD是正方形.则DH^BC\AD^BC方法二:取BC的中点O.连AO.DO则有AO^BC.DO^BC.\BC^面AOD\BC^AD(2) 作BM^AC于M.作MN^AC交AD于N.则ÐBMN就是二面角B-AC-D的平面角.因为AB＝AC＝BC＝\M是AC的中点.且MN¤¤CD.则BM＝.MN＝CD＝.BN＝AD＝.由余弦定理可求得cosÐBMN＝\ÐBMN＝arccos(3) 设E是所求的点.作EF^CH于F.连FD.则EF¤¤AH.\EF^面BCD.ÐEDF就是ED与面BCD所成的角.则ÐEDF＝30°.设EF＝x.易得AH＝HC＝1.则CF＝x.FD＝.\tanÐEDF＝＝＝解得x＝.则CE＝x＝1故线段AC上存在E点.且CE＝1时.ED与面BCD成30°角.解法二:此题也可用空间向量求解.解答略
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如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.
（Ⅰ）证明PC⊥AD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.
【解析】解法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), 
,P（0,0,2）.
（1）证明：易得
，
于是
,所以
(2) ,
设平面PCD的法向量
，
则
,即
.不防设
，可得
.可取平面PAC的法向量
于是
从而
.
所以二面角A-PC-D的正弦值为
.
（3）设点E的坐标为（0,0，h），其中
，由此得
.
由，故
所以，
，解得
，即
.
解法二：（1）证明：由
，可得
，又由
,
,故
.又
,所以.
(2)如图，作
于点H，连接DH.由,
,可得
.
因此
,从而
为二面角A-PC-D的平面角.在
中，
,由此得
由（1）知
,故在
中，
因此
所以二面角
的正弦值为.
（3）如图，因为
，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF. 故
或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD，故
.在
中，
故
在
中，由
,
,
可得
.由余弦定理，
,
所以.
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,P(B)=
,
.