例1．已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为(    ).

(A)      (B)       (C)5      (D)6

分析及解：设长方体三条棱长分别为x,y,z,则依条件得：

 2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24.而欲求的对角线长为,因此需将对称式写成基本对称式x+y+z及xy+yz+zx的组合形式,完成这种组合的常用手段是配方法.故=6²-11=25

∴  ,应选C.

例2．设F₁和F₂为双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F₁PF₂=90°,则ΔF₁PF₂的面积是(    ).               

(A)1      (B)    (C)2      (D)

分析及解：欲求     (1),而由已知能得到什么呢？

由∠F₁PF₂=90°,得       (2),

又根据双曲线的定义得|PF₁|-|PF₂|=4     (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即,

故∴  ,∴  选(A).

注：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化.

例3．设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于x轴,离心率为,已知点P(0,5)到该双曲线上的点的最近距离是2,求双曲线方程.

分析及解：由题意可设双曲线方程为,∵,∴a=2b,因此所求双曲线方程可写成：  (1),故只需求出a可求解.

设双曲线上点Q的坐标为(x,y),则|PQ|=  (2),∵点Q(x,y)在双曲线上,∴(x,y)满足(1)式,代入(2)得|PQ|=  (3),此时|PQ|²表示为变量y的二次函数,利用配方法求出其最小值即可求解.

由(3)式有(y≥a或y≤-a).

二次曲线的对称轴为y=4,而函数的定义域y≥a或y≤-a,因此,需对a≤4与a>4分类讨论.

(1)当a≤4时,如图(1)可知函数在y=4处取得最小值,

∴令,得a²=4

∴所求双曲线方程为.

(2)当a>4时,如图(2)可知函数在y=a处取得最小值,

∴令,得a²=49,

∴所求双曲线方程为.

注：此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函数的最值问题,由于二次函数的定义域与参数a有关,因此需对字母a的取值分类讨论,从而得到两个解,同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题.

例4．设f(x)是一次函数,且其在定义域内是增函数,又,试求f(x)的表达式.

分析及解：因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式.

设一次函数y=f(x)=ax+b  (a>0),可知  ,

∴.

比较系数可知：   

解此方程组,得  ,b=2,∴所求f(x)=.

例5．如图,已知在矩形ABCD中,C(4,4),点A在曲线(x>0,y>0)上移动,且AB,BC两边始终分别平行于x轴,y轴,求使矩形ABCD的面积为最小时点A的坐标.

分析及解：设A(x,y),如图所示,则(4-x)(4-y)          (1)

此时S表示为变量x,y的函数,如何将S表示为一个变量x(或y)的函数呢？有的同学想到由已知得x²+y²=9,如何利用此条件？是从等式中解出x(或y),再代入(1)式,因为表达式有开方,显然此方法不好.

如果我们将(1)式继续变形,会得到S=16-4(x+y)+xy              (2)

这时我们可联想到x²+y²与x+y、xy间的关系,即(x+y)²=9+2xy.

因此,只需设t=x+y,则xy=,代入(2)式得    S=16-4t+(3)S表示为变量t的二次函数,

∵0<x<3,0<y<3,∴3<t<,∴当t=4时,S_ABCD的最小值为.

此时

注：换元前后新旧变量的取值范围是不同的,这样才能防止出现不必要的错误.

例6．设方程x²+2kx+4=0的两实根为x₁,x₂,若≥3,求k的取值范围.

解：∵≥3,

以,代入整理得(k²-2)²≥5,又∵Δ=4k²-16≥0,

∴解得k∈(-)∪[,+].

例7．点P(x,y)在椭圆上移动时,求函数u=x²+2xy+4y²+x+2y的最大值.

解：∵点P(x,y)在椭圆上移动,   ∴可设    于是

          =

          =

    令,    ∵,∴|t|≤.

    于是u=,(|t|≤).

    当t=,即时,u有最大值.

    ∴θ=2kπ+(k∈Z)时,.

例8．过坐标原点的直线l与椭圆相交于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的左焦点F,求直线l的倾斜角.

解：设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)

     直线l的方程为y=kx,将它代入椭圆方

程整理得   (*)

由韦达定理,(1),(2)

    又F(1,0)且AF⊥BF,∴,    即  ,

    将,代入上式整理得  ,

    将(1)式,(2)式代入,解得  .    故直线l的倾斜角为或.

注：本题设交点坐标为参数,“设而不求”,以这些参数为桥梁建立斜率为k的方程求解.

例9．设集合A={}

(1)若A中有且只有一个元素,求实数a的取值集合B；

(2)当a∈B时,不等式x²-5x-6<a(x-4)恒成立,求x的取值范围.

解：(1)令t=2^x,则t>0且方程化为t²-2t+a=0  (*),A中有且只有一个元素等价于方程(*)有且只有一个正根,再令f(t)=t²-2t+a,

则Δ=0  或即a=1或a≤0,从而B=(-,0]∪{1}.

(2)当a=1时,<x<3+,

当a≤0,令g(a)=a(x-4)-(x²-5x-6),则当a≤0时不等式  恒成立,

即当a≤0时,g(a)>0恒成立,故  ≤4.

综上讨论,x的取值范围是(,4).