绝密★启用前
2009年中卫市沙坡头区高考第一次模拟考试
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅱ卷第22、23、24题为选考题，其他题为必考题。考生做答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上。
2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5、作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
参考公式：
样本数据
，
，
，
的标准差 锥体体积公式
其中
为标本平均数 其中
为底面面积，
为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
，
其中为底面面积，为高 其中
为球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、设全集
,则
= (
)
A．
B．
C．
D．
2、下列大小关系正确的是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
3、已知a,b为正实数，且
的最小值为（ ）
A．
B．
D．3+
4、已知变量
满足
则
的最小值是( )
A．1
B．
5、过点P（1，2）作直线
，使直线与点M（2，3）和点N（4，?5）距离相等，则直线的方程为 （ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
6、若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是( )
A．若m∥α，m
β，α∩β=n，则m∥n B．若m∥α，nα，则m∥n
C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若α∩β =m，m⊥n，则n⊥α
7、已知sin2a=－
, a∈(－,0)，则sina+cosa=（ ）
A．－
B． C．－
D．
8、在△ABC中，a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边，设向量
，若
,则角A的大小为（ ）
A.
B. 
C.
D.
9、已知函数
（其中
）的图象如下面右图所示，则函数
的图象是( )
A． B．
C． D．
10、数列1，
的前2008项的和（ ）
A. 
B.
C. 
D.
11、函数
的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（ ）
A．
B．
12、曲线y=2sin(x + )cos(x －)和直线y= 在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于
（ ）
A ．π
B ．2π
C． 3π
D ．4π
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13、已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点p(1，1)处的切线互相垂直，则
为
14、已知tan(α+)=
,tan(β-)=
,则tan(
)=
15、若两个向量
与
的夹角为q，则称向量“×”为“向量积”，其长度|×|=||•||•sinq。已知||=1，||=5，•=－4，则|×|= 。
16、将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为
三、解答题
17、（本小题12分）已知向量
，
，定义
⑴求函数
的最小正周期和单调递减区间；
⑵求函数在区间
上的最大值及取得最大值时的
.
18．（本小题12分）如图，在直三棱柱（侧棱垂直与底面）
中，
，
，
，点D是
的中点.
⑴求证：
；
⑵求证：
平面
；
⑶求直线
与直线
所成角的余弦值.
19 （本小题12分）如图，点A，B分别是椭圆
的长轴的左右端点，点F为椭圆的右焦点，直线PF的方程为：
且
.
⑴求直线AP的方程；
⑵设点M是椭圆长轴AB上一点，
点M到直线AP的距离等于
，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
20、（本小题12分）已知实数
，数列
的首项
，前
项和
满足 ：
（
）
⑴求证：数列是等比数列；
⑵设数列的公比为
，数列
满足
，
（），
求数列的通项
及前项的和
.
21、（本小题12分）已知函数
在
上是增函数，在
上是减函数.
⑴求函数的解析式；
⑵若
时，
恒成立，求实数m的取值范围；
⑶是否存在实数b，使得方程
在区间
上恰有两个相异实数根，若存在，求出b的范围，若不存在说明理由.
22.（4-1几何证明选讲）（本小题10分）
如图圆O和圆
相交于A，B两点，AC是圆的切线，AD是圆O的切线，
若BC=2，AB=4，求BD.
23、（4-4极坐标与参数方程）（本小题10分）
已知直线的参数方程为
（t为参数），
曲线C的参数方程为
（θ为参数）.
⑴将曲线C的参数方程化为普通方程；
⑵若直线l与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长.
24、（4-5不等式选讲）（本小题10分）
设函数
.
⑴求不等式
的解集；
⑵求函数的最小值.
中卫市城区试卷
数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、设全集,则= ( c )
A． B． C． D．
2、下列大小关系正确的是（ b ）
A、
B、
C、
D、
3、已知a,b为正实数，且的最小值为（ d ）
A． B． D．3+
4、已知变量满足则的最小值是(
b )
A．1
B．
5、过点P（1，2）作直线，使直线与点M（2，3）和点N（4，?5）距离相等，则直线的方程为 （
d ）
A．
B．或
C．
D．或
6、若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是( a )
A．若m∥α，mβ，α∩β=n，则m∥n B．若m∥α，nα，则m∥n
C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若α∩β =m，m⊥n，则n⊥α
7、已知sin2a=－, a∈(－,0)，则sina+cosa=（
b ）
A．－ B． C．－ D．
8、在△ABC中，a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边，设向量，若,则角A的大小为（ c
）
A.
B. C.
D.
9、已知函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是( a )
A． B． C． D．
10、数列1，的前2008项的和（ d
）
A、 B、
C、 D、
11、函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（ c ）
A． B．
12、曲线y=2sin(x + )cos(x －)和直线y= 在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于 （ a ）
A ．π B ．2π C． 3π D ．4π
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13、已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点p(1，1)处的切线互相垂直，则为
14、已知
1 
15、若两个向量与的夹角为q，则称向量“×”为“向量积”，其长度|×|=||•||•sinq。已知||=1，||=5，•=－4，则|×|= 3 。
16、将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 
三、解答题
17、已知向量，，定义
⑴求函数的最小正周期和单调递减区间；
⑵求函数在区间上的最大值及取得最大值时的.
解答：⑴
…………..2分
所以
；
……………………………..4分
由
，得的减区间
……6分
⑵由
，得
，
；…………9分
所以当
时，
，
……….12分
18．如图，在直三棱柱（侧棱垂直与底面）中，，
，，点D是的中点.
⑴求证：；
⑵求证：平面；
⑶求直线与直线所成角的余弦值.
解答：⑴∵
∴∠ACB=90°，AC⊥BC
∵CC1⊥AC,CC1∩BC=C
∴AC⊥面BB
面BB……..4分
⑵连接BC1交B
∵四边形BB
又∵点D为BA的中点 ∴OD∥AC1 ∵OD平面CDB1，AC1
平面CDB1
∴AC1∥平面CDB1 ………………8分
⑶由⑵知∠COD为AC1与B
∵B
∴OC=
，OD =
，CD =.
…………12分
19 
如图，点A，B分别是椭圆的长轴的左右端点，点F为椭圆的右焦点，直线PF的方程为：且.
⑴求直线AP的方程；
⑵设点M是椭圆长轴AB上一点，
点M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
解答： ⑴由题意得
，直线AP的方程为：
…………4分
⑵设
，则
，解得
或
（舍去），故
.
，
，
所以当
时，
，即
…………12分
20 已知实数，数列的首项，前项和满足 ：
（）
⑴求证：数列是等比数列；
⑵设数列的公比为，数列满足，（），
求数列的通项及前项的和.
解答：⑴由题意得，当
时，有
①
②
两式相减得
，即
所以
（常数），所以是公比为
的等比数列…………..4分
⑵由⑴可知
，当时，
，即
所以是公差为
的等差数列，所以
，………….8分
………………….12分
21.已知函数在上是增函数，在上是减函数.
⑴求函数的解析式；
⑵若时，恒成立，求实数m的取值范围；
⑶是否存在实数b，使得方程在区间上恰有两个相异实数根，若存在，求出b的范围，若不存在说明理由.
解答：⑴
依题意得
，所以
，从而
……….4分
⑵ 
令
，得
或
（舍去），所以
………8分
⑶设
，即
，
.
又
，令
，得
；令
，得
.
所以函数
的增区间
，减区间
.
要使方程有两个相异实根，则有
，解得
……..12分
22.（4-1几何证明选讲）如图圆O和圆相交于A，B两点，AC是圆的切线，AD是圆O的切线，
若BC=2，AB=4，求BD.
解答：易证
∽
，…………5分
所以
，
…………10分
23、（4-4极坐标与参数方程）
已知直线的参数方程为（t为参数），
曲线C的参数方程为（θ为参数）.
⑴将曲线C的参数方程化为普通方程；
⑵若直线l与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长.
解答：⑴
…………5分
⑵将代入，并整理得
设A，B对应的参数为
，
，则
，
…………10分
24、（4-5不等式选讲）
设函数.
⑴求不等式的解集；
⑵求函数的最小值.
解答：
⑴①由
解得
；②
解得
；
③
解得
；综上可知不等式的解集为
……5分.
⑵如图可知
………….10分