2007年南通市高三第一次调研考试

数学试题

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},B={2,3},则

A.{4,5}          B.{2,3}           C.{1}             D.{2}

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2. 除以9的余数是

    A.1               B.4                C.7              D.8

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3. 函数的定义域和值域均为[0,1],则a等于

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A.              B.2                C            D.

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4. 双曲线的一条渐近线与实轴的夹角为α,则双曲线的离心率为

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A.sinα            B.            C.cosα            D.

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5. 对某种电子元件使用寿命跟踪调查,所得样本频率分布直方图如右图,由图可知一批电子元件中寿命在100~300小时的电子元件的数量与寿命在300~600小时的电子元件的数量的比是

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A.              B.

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    C.              D.

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6. 函数的单调递增区间是

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A.            

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B. 

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C.         

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D.

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7. 箱内有大小相同的6个红球和4个黑球,从中每次取1个球记下颜色后再放回箱中,则前3次恰有1次取到黑球的概率为

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    A.              B.             C.             D.

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8. 空间四条直线a,b,c,d,满足a⊥b,b⊥c,c⊥d,d⊥a,则必有

A.a⊥c            B.b⊥d             C.b∥d 或a∥c     D.b∥d 且a∥c

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9. 若a>0,b>0,a3+b32a2b,则的取值范围是

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A.      B.        C.       D.

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10.△ABC的外接圆圆心为O,且,则∠C等于

A.45°             B.60°               C.75°             D.90°

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二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填写在答题卡相应位置上.

11.已知向量a=(-1,1),b=,则a与b的夹角α=      ▲      

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12.垂直于直线x-3y=0且与曲线相切的直线方程为       ▲       

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13.椭圆的一个焦点为F,点P在椭圆上,且(O为坐标原点),则

△OPF的面积S=      ▲     

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14.数列{an}中,,且,则常数t=     ▲     

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15.一排7个座位,让甲、乙、丙三人就坐,要求甲与乙之间至少有一个空位,且甲与丙之间也至少有一个空位,则不同的坐法有      ▲      种.

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16.已知函数,当时,有.给出以下命题:

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(1);(2);(3);(4)

则所有正确命题的序号是      ▲      

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三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本题满分12分)

已知抛物线的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,且过点P(2,2),过F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.

(1)求抛物线的方程;

(2)设直线l是抛物线的准线,求证:以AB为直径的圆与直线l相切.

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18.(本题满分14分)

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在同一平面内,Rt△ABC和Rt△ACD拼接如图所示,现将△ACD绕A点顺时针旋转α角(0<α<)后得△AC1D1,AD1交DC于点E,AC1交BC于点F.∠BAC=∠ACD=,∠ACB=∠ADC=,AC=

(1)当AF=1时,求α;

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(2)求证:对任意的α∈(0,),为定值.

 

 

 

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19.(本题满分14分)

正四棱锥S-ABCD中,O为底面中心,E为SA的中

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点,AB=1,直线AD到平面SBC的距离等于

(1)求斜高SM的长;

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(2)求平面EBC与侧面SAD所成锐二面角的大小;

(3)在SM上是否存在点P,使得OP⊥平面EBC?

并证明你的结论.

 

 

 

 

 

 

 

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20.(本题满分15分)

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(1)设a,n∈N*,a≥2,证明:

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(2)等比数列{an}中,,前n项的和为An,且A7,A9,A8成等差数列.设,数列{bn}前n项的和为Bn,证明:Bn

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21.(本题满分15分)

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已知函数(其中),

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(1)求的取值范围;

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(2)方程有几个实根?为什么?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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1.C   2.A   3.B   4.D   5.C   6.B   7.D   8.C   9.B  10.A

  11.120°   12.3x+y-1=0   13.   14.10    15.100    16.(1),(4)

17.解:(1)设抛物线,将(2,2)代入,得p=1. …………4分

∴y2=2x为所求的抛物线的方程.………………………………………………………5分

(2)联立 消去y,得到. ………………………………7分

设AB的中点为,则

∴ 点到准线l的距离.…………………………………9分

,…………………………11分

,故以AB为直径的圆与准线l相切.…………………… 12分

(注:本题第(2)也可用抛物线的定义法证明)

18.解:(1)在△ACF中,,即.………………………………5分

.又,∴.…………………… 7分

(2)

. ……………………………14分

(注:用坐标法证明,同样给分)

19.

解法一:(1)连OM,作OH⊥SM于H.

∵SM为斜高,∴M为BC的中点,∴BC⊥OM.

∵BC⊥SM,∴BC⊥平面SMO.

又OH⊥SM,∴OH⊥平面SBC.……… 2分

由题意,得

设SM=x,

,解之,即.………………… 5分

(2)设面EBC∩SD=F,取AD中点N,连SN,设SN∩EF=Q.

∵AD∥BC,∴AD∥面BEFC.而面SAD∩面BEFC=EF,∴AD∥EF.

又AD⊥SN,AD⊥NM,AD⊥面SMN.

从而EF⊥面SMN,∴EF⊥QS,且EF⊥QM.

∴∠SQM为所求二面角的平面角,记为α.……… 7分

由平几知识,得

,∴

,即所求二面角为. ……………… 10分

(3)存在一点P,使得OP⊥平面EBC.取SD的中点F,连FC,可得梯形EFCB,

取AD的中点G,连SG,GM,得等腰三角形SGM,O为GM的中点,

设SG∩EF=H,则H是EF的中点.

连HM,则HM为平面EFCB与平面SGM的交线.

又∵BC⊥SO,BC⊥GM,∴平面EFCB⊥平面SGM. …………… 12分

在平面SGM中,过O作OQ⊥HM,由两平面垂直的性质,可知OQ⊥平面EFCB.

而OQ平面SOM,在平面SOM中,延长OQ必与SM相交于一点,

故存在一点P,使得OP⊥平面EBC. ……………………… 14分

 

∵底面边长为1,∴

.    ……………… 1分

平面SBC的一个法向量

∴y=2h,n=(0,2h,1).… 3分

=(0,1,0),由题意,得.解得

∴斜高. …………………………………………………… 5分

(2)n=(0,2h,1)=

由对称性,面SAD的一个法向量为n1. ………………………………6分

设平面EBC的一个法向量n2=(x,y,1),由

,得

 解得.………………… 8分

设所求的锐二面角为α,则

,∴.…………… 10分

(3)存在满足题意的点.证明如下:

. ………………………… 11分

,令与n2共线,则. ……………… 13分

.故存在P∈SM,使OP⊥面EBC.……………………… 14分

20. 解:(1)当n为奇数时,an≥a,于是,. ………………3分

         当n为偶数时,a-1≥1,且an≥a2,于是

=. …………6分

(2)∵,∴公比.……9分

. …………………………………………10分

(注:如用求和公式,漏掉q=1的讨论,扣1分)

 . ……………12分

.……15分21.解:(1)∵,∴,∴. 1分

,即,∴. …3分

①当,即时,上式不成立.………………………………………………4分

②当,即时,.由条件,得到

,解得. ……………………………………………5分

,解得.…………………………………………6分

 m的取值范围是. ………………………………………7分

(2)有一个实根.………………………………………………………………………………9分

,即

,则

. ………………………10分

 △>0,故有相异两实根

,∴ 显然

,∴,∴. …………12分

于是

                    

为三次函数的极小值点,故与x轴只有一个交点.

∴  方程只有一个实根.…………………………15分

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