1.将球的半径变为原来的两倍，则球的体积变为原来的   （   ）

    A．2倍       B．4倍      C．8倍        D．0.5倍

2.多面体的直观图如右图所示，则其正视图为（    ）

3.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（    ）

A．3x－2y = 0                   B．x + y－5 = 0    

C．3x－2y = 0 或x + y－5 = 0      D．2x－3y = 0 或x + y－5 = 0

4.关于斜二侧画法，下列说法正确的是（    ）

A．三角形的直观图可能是一条线段

B．平行四边形的直观图一定是平行四边形

C．正方形的直观图是正方形

D．菱形的直观图是菱形

5.若l、a、b表示直线，α、β表示平面，下列命题正确的是（    ）

A．         B．

C．        D．

6. 直线y = k(x－1)与以A(3,2)、B(2,3)为端点的线段有公共点，则k的取值范围是。

A．[1, ]     B．[1, ]     C．[1,3]    D．[,3]

7.直线x + y－1 = 0与直线x + y + 1 = 0的距离为（     ）

A．2       B．      C．2     D．1

8.已知△ABC中，三个顶点的坐标分别为A(5,－1)，B(1,1)，C(2,3)，

座位号

则△ABC的形状为（    ）

A．等边三角形    B．直角三角形 

C．等腰直角三角形  D．钝角三角形

9. 已知圆C₁：x² + y² + 2x + 8y－8 = 0，圆C₂：x² + y²－4x－4y－2 = 0，则圆C₁与圆C₂的位置关系为（     ）

A．相交     B．外切     C．内切      D．外离

10. 如图，将一正方体沿着相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为（    ）

A．1∶6     B．1∶5     C．1∶2       D．1∶3

选择题答题：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11.空间直角坐标系中两点A(0,0,1)，B(0,1,0)，则线段AB的长度为     .

12.已知圆的方程为x² + y²－2x + 4y + 1 = 0，则此圆的圆心坐标和半径分别为             .

13.圆台的上下底面半径分别为1、2，母线与底面的夹角为60°，则圆台的侧面积为           .

14.已知线段AB的端点B的坐标为(4,0)，端点A在圆x² + y² = 1上运动，则线段AB的中点的轨迹方程为           

15.如图，直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中（侧棱垂直于底面），∠ABC = 90°，且AB = BC = AA₁，则BC₁与面ACC₁A₁所成的角的大小为            .

16.（本小题满分8分）

直线l过直线x + y－2 = 0和直线x－y + 4 = 0的交点，且与直线3x－2y + 4 = 0平行，求直线l的方程.

17.（本小题满分8分）

如图，正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁中，E为DD₁中点，

（1）求证：BD₁∥平面AEC；

（2）求：异面直线BD与AD₁所成的角的大小.

18.（本小题满分8分）

已知圆心为C的圆经过点A(1,0)，B(2,1)，且圆心C在y轴上，求此圆的方程。

19.（本小题满分8分）

已知，过点M(－1,1)的直线l被圆C：x² + y²－2x + 2y－14 = 0所截得的弦长为4，求直线l的方程.

20.（本小题满分8分）

如图，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，∠ABC = 30°，PA = AB.        

(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；

(2)求直线PC与平面ABC所成角的正切值；

(3)求二面角A―PB―C的正弦值.

21.（本小题满分9分）

在一个特定时段内，以点E为中心的10海里以内海域被设为警戒水域.点E正北40海里处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东30°且与点A相距100海里的位置B，经过2小时又测得该船已行驶到点A北偏东60°且与点A相距20海里的位置C.

（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;

（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断

它是否会进入警戒水域，并说明理由.

湖南师大附中数学必修2模块结业考试试卷

命题人：苏林   审题人：李昌平  张宇

1.将球的半径变为原来的两倍，则球的体积变为原来的 （ C  ）教材(P₃₅.1)

    A．2倍       B．4倍      C．8倍        D．0.5倍

2.多面体的直观图如右图所示，则其正视图为（  A  ）教材(P₁₅.1)

3.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（  C  ）教材(P₁₀₀.9)

A．3x－2y = 0                   B．x + y－5 = 0    

C．3x－2y = 0 或x + y－5 = 0      D．2x－3y = 0 或x + y－5 = 0

4.关于斜二侧画法，下列说法正确的是（  B  ）教材(P₁₉.3)

A．三角形的直观图可能是一条线段

B．平行四边形的直观图一定是平行四边形

C．正方形的直观图是正方形

D．菱形的直观图是菱形

5.若l、a、b表示直线，α、β表示平面，下列命题正确的是（ C ）教材(P₄₉.例4)

A．         B．

C．        D．

6. 直线y = k(x－1)与以A(3,2)、B(2,3)为端点的线段有公共点，则k的取值范围是（  C  ）。教材(P₉₀.6)

A．[1, ]     B．[1, ]     C．[1,3]    D．[,3]

7.直线x + y－1 = 0与直线x + y + 1 = 0的距离为（  B  ）教材(P₁₁₀.10)

A．2       B．      C．2     D．1

8.已知△ABC中，三个顶点的坐标分别为A(5,－1)，B(1,1)，C(2,3)，则△ABC的形状为（  B  ）教材(P₈₉.例6)

A．等边三角形    B．直角三角形   C．等腰直角三角形  D．钝角三角形

9. 已知圆C₁：x² + y² + 2x + 8y－8 = 0，圆C₂：x² + y²－4x－4y－2 = 0，则圆C₁与圆C₂的位置关系为（  A  ）教材(P₁₂₉.例3)

A．相交     B．外切     C．内切      D．外离

10. 如图，将一正方体沿着相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为（  B  ）教材(P₂₈.3)

A．1∶6     B．1∶5     C．1∶2       D．1∶3

11.空间直角坐标系中两点A(0,0,1)，B(0,1,0)，则线段AB的长度为    . 教材(P₁₃₈.练习1)

12.已知圆的方程为x² + y²－2x + 4y + 1 = 0，则此圆的圆心坐标和半径分别为  （1，－2） ，2            . 教材(P₁₂₁思考题)

13.圆台的上下底面半径分别为1、2，母线与底面的夹角为60°，则圆台的侧面积为    6π      . 教材(P₂₄.探究2)

14.已知线段AB的端点B的坐标为(4,0)，端点A在圆x² + y² = 1上运动，则线段AB的中点的轨迹方程为            (x－2)² + y² =

15.如图，直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中（侧棱垂直于底面），∠ABC = 90°，且AB = BC = AA₁，则BC₁与面ACC₁A₁所成的角的大小为   30°      . 教材(P₆₆.例2)

16.（本小题满分8分）

直线l过直线x + y－2 = 0和直线x－y + 4 = 0的交点，且与直线3x－2y + 4 = 0平行，求直线l的方程. 教材(P₁₀₉.5)

解法一：联立方程：解得 ，即直线l过点(－1,3)，

由直线l与直线3x－2y + 4 = 0平行得：直线l的斜率为，

所以直线l的方程为：y－3 = (x + 1) 即3x－2y + 9 = 0.

解法二：∵直线x + y－2 = 0不与3x－2y + 4 = 0平行

∴可设符合条件的直线l的方程为：x－y + 4 + λ(x + y－2)= 0

        整理得：(1 + λ)x + (λ－1)y + 4－2λ = 0

        ∵直线l与直线3x－2y + 4 = 0平行

∴  解得λ =

        ∴直线l的方程为：x－ y + = 0 即3x－2y + 9 = 0

17.（本小题满分8分）

如图，正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁中，E为DD₁中点，

（1）求证：BD₁∥平面AEC；

（2）求：异面直线BD与AD₁所成的角的大小.

教材(P₅₆.2)

证明：（1）设AC、BD交点为O，连结EO，

      ∵E、O分别是DD₁、BD中点

      ∴EO∥BD₁

      又∵EO 面AEC，BD₁∥面AEC

      ∴BD₁∥平面AEC

     （2）连结B₁D₁，AB₁

      ∵DD₁ ∥=BB₁  ∴B₁D₁ ∥=BD

      ∴∠AD₁B₁即为BD与AD₁所成的角

      在正方体中有面对角线AD₁ = D₁B₁ = AB₁

      ∴△AD₁B₁为正三角形

      ∴∠AD₁B₁ = 60°

      即异面直线BD与AD₁所成的角的大小为60°

18.（本小题满分8分）

已知圆心为C的圆经过点A(1,0)，B(2,1)，且圆心C在y轴上，求此圆的方程。

教材(P₁₂₀.例3)

    解法一：设圆心C的坐标为(0,b)，由|CA| = |CB|得：

              解得：b = 2

            ∴C点的坐标为(0,2)

            ∴圆C的半径 = |CA| =

            ∴圆C的方程为：x² + (y－2)² = 5 即x² + y²－4x－1 = 0

解法二：AB的中点为(,)，中垂线的斜率为－1

        ∴AB的中垂线的方程为y－ = －(x－)

        令x = 0求得y = 2，即圆C的圆心为(0,2)

            ∴圆C的半径 = |CA| =

            ∴圆C的方程为：x² + (y－2)² = 5 即x² + y²－4x－1 = 0

19.（本小题满分8分）

已知，过点M(－1,1)的直线l被圆C：x² + y²－2x + 2y－14 = 0所截得的弦长为4，求直线l的方程. (P₁₂₇.例2)

    解：由圆的方程可求得圆心C的坐标为(1,－1)，半径为4

        ∵直线l被圆C所截得的弦长为4

        ∴圆心C到直线l的距离为2

        (1)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x =－1，此时C到l的距离为2，可求得弦长为4，符合题意。

      (2)若直线l的斜率存在,设为k, 则直线l的方程为y－1 = k(x + 1)

即kx－y + k + 1 = 0, ∵圆心C到直线l的距离为2

        ∴ = 2  ∴k² + 2k + 1 = k² + 1

        ∴k = 0   ∴直线l的方程为y =1

      综上(1)(2)可得：直线l的方程为x =－1或 y =1.

20.（本小题满分8分）

如图，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，∠ABC = 30°，PA = AB.        教材(P₆₉.例3)

(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；

(2)求直线PC与平面ABC所成角的正切值；

(3)求二面角A―PB―C的正弦值.

解：(1)证明：∵AB是直径  ∴∠ACB = 90°，即BC⊥AC

∴PA⊥BC

∴BC⊥平面PAC  又BC平面PBC

∴平面PBC⊥平面PAC

   （2）∵PA⊥平面ABC

        ∴直线PC与平面ABC所成角即∠PCA

        设AC = 1，∵∠ABC = 30°∴PA = AB = 2

        ∴tan∠PCA = = 2

(3) 在平面PAC中作AD⊥PC于D，在平面PAB中作AE⊥PB于连结DE

   ∵平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC = PC，AD⊥PC

   ∴AD⊥平面PBC

   ∴AD⊥PB

   又∵PB⊥AE  ∴PB⊥面AED

   ∴PB⊥ED

   ∴∠DEA即为二面角A―PB―C的平面角

   在直角三角形PAC中和直角三角形PAB中，

分别由等面积方法求得

   AD =   AE =

   ∴在直角三角形ADE中可求得：sin∠DEA =

   即二面角A―PB―C的正弦值为.

21.（本小题满分9分）

在一个特定时段内，以点E为中心的10海里以内海域被设为警戒水域.点E正北40海里处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东30°且与点A相距100海里的位置B，经过2小时又测得该船已行驶到点A北偏东60°且与点A相距20海里的位置C.

（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;

（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断

它是否会进入警戒水域，并说明理由.

教材(P₁₂₆.问题)及08年湖南高考理科19题

解：（1）如图建立平面直角坐标系：设一个单位为10海里

   则坐标平面中AB = 10，AC = 2 A(0,0)，E(0, －4)

   再由方位角可求得：B(5,5)，C(3,)

   所以|BC| = = 2

   所以BC两地的距离为20海里

   所以该船行驶的速度为10海里/小时

   （2）直线BC的斜率为 = 2

   所以直线BC的方程为：y－ = 2(x－3)

   即2x－y－5 =0

   所以E点到直线BC的距离为 = < 1

   所以直线BC会与以E为圆心，以一个单位长为半径的圆相交，

所以若该船不改变航行方向则会进入警戒水域。

答：该船行驶的速度为10海里/小时，若该船不改变航行方向则会进入警戒水域。