第二节矩形.菱形.正方形 [回顾与思考][例题经典] 会用“阶梯型思路判定特殊平行四边形例1．如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.∠BAC=60°.DE垂直平分BC.垂足为D.交AB于点E——青夏教育精英家教网——

第二节矩形、菱形、正方形

【回顾与思考】

【例题经典】

会用“阶梯型”思路判定特殊平行四边形

例1．（2005年黄冈市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE．求证：四边形ACEF为菱形．

【分析】欲证四边形ACEF为菱形，可先证四边形ACEF为平行四边形，然后再证ACEF为菱形，当然，也可证四条边相等，直接证四边形为菱形．

矩形、菱形的综合应用

例2．（2006年青岛市）如图，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．

【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形

∴∠1=∠C，AD=CB，AB=CD．

∵点E、F分别是AB、CD的中点，

∴AE=AB，CF=CD．

∴AE=CF．

∴△ADE≌△CBF．

（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC．

∵AG∥BD，

∴四边形AGBD是平行四边形．

∵四边形BEDF是菱形，

∴DE=BE．

∵AE=BE，

∴AE=BE=DE．

∴∠1=∠2，∠3=∠4．

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

∴2∠2+2∠3=180°．

∴∠2+∠3=90°．

即∠ADB=90°，

∴四边形AGBD是矩形．

会解决与特殊平行四边形有关的动手操作问题

例3．（2005年吉林省）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°．

（1）求BE、QF的长．（2）求四边形PEFH的面积．

【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点，要想解好此类题，考生必须有想像力，抓住折叠的角与边不发生变化，必要时需要考生剪一个四边形实际折叠一下帮助理解．

【考点精练】

一、基础训练

1．如图1，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为________．

2．（2006年黄冈市）如图2,将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线L向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是________cm．

(1) (2) (3)

3．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形；一定可以拼成的是________（只填序号）．

4．如图3，点E、F是菱形ABCD的边BC、CD上的点，请你添加一个条件（不得另外添加辅助线和字母），使AE=AF，你添加的条件是________．

5．（2006年烟台市）如图4,先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴上（如图①所示），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图②所示），若AB=4，BC=3，则图①和图②中，点B的坐标为_________，点C的坐标为________．

① ②

(4)

(4) (5) (6)

6．（2006年广安市）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）

A．对角线相等　　　　B．对角线互相垂直平分

C．对角线平分一组对角　　　　D．四条边相等

7．如图5，在菱形ABCD中，E、F分别是AB，AC的中点，如果EF=2，那么菱形ABCD的周长是（）

A．4 B．8 C．12 D．16

8．（2006年江阴市）已知如图6，则不含阴影部分的矩形的个数是（）

A．15 B．24 C．25 D．16

9．（2006年潍坊市）如图7，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）

A． B． C．1- D．1-

(7) (8)

10．（2006年淄博市）将一矩形纸片按如图8方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后A′B与E′B在同一条直线上，则∠CBD的度数（）

A．大于90° B．等于90° C．小于90° D．不能确定

二、能力提升

11．如图，矩形ABCD中，M是AD的中点．

（1）求证：△ABM≌△DCM；

（2）请你探索，当矩形ABCD的一组邻边满足何种数量关系时，有BM⊥CM成立，说明你的理由．

12．（2006年泉州市）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．

求证：△ABE≌△CDF．

13．（2006年沪州市）如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．线段DF与图中哪一条线段相等？先将你的猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．

即DF=________．（写出一线段即可）

14．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形．

三、应用与探究

15．（2006年河南省）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF∥AB交直线DF于F．设CD=x．

（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；

（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？

答案：

例题经典

例3．（1）BE=2，QF=1 （2）7

考点精练

1．96 2．16+16 3．①②⑤

4．∠BAE=∠DAF（答案不唯一）

5．B（4，0），（2，2），C（4，3），（）

6．A 7．D 8．C 9．C 10．B

11．（1）略（2）AB=AD时，BM⊥CM

12．根据SAS证△ABE≌△CDF

13．DF=DC．证略

14．证△AOE≌△COF．即得AEFC．四边形AFCE是平行四边形．

又AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形

15．解：（1）∵∠ACB=90°，

∴AC⊥BC．又∵DE⊥BC，∴EF∥AC．

又∵AE∥CF，∴四边形EACF是平行四边形．

当CF=AC时，四边形ACFE是菱形．

此时，CF=AC=2，BD=3-x，tan∠B=，ED=BD?tan∠B=（3-x），

∴DF=EF-ED=2-（3-x）=x．

在Rt△CDF中，CD²+DF²=CF²，

∴x²+（x）²=2²，∴x=±（负值不合题意，舍去），

即当x=时，四边形ACFE是菱形

（2）由已知得，四边形EACD是直角梯形，S_梯形_EACD=×（4-x）?x=-x²+2x．

依题意，得-x²+2x=2，整理得，x²-6x+6=0．解之，得x₁=3-，x₂=3+．

∵x=3+>BC=3，

∴x=3+舍去，

∴当x=3-时，梯形EACD的面积等于2．