-
网址：http://m.1010jiajiao.com/paper/timu/5157707.html[举报]
31．(福建•理•18题)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。
(Ⅰ)求证：AB1⊥面A1BD；
(Ⅱ)求二面角A－A1D－B的大小；
(Ⅲ)求点C到平面A1BD的距离；
分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分12分．
解答：解法一：(Ⅰ)取
中点
，连结
．
为正三角形，
．
正三棱柱
中，平面
平面
，
平面．连结
，在正方形
中，
分别为
的中点，
，
．在正方形
中，
，
平面
．(Ⅱ)设
与
交于点
，在平面中，作
于
，连结
，由(Ⅰ)得
平面．
，
为二面角
的平面角．在
中，由等面积法可求得
，又
，
．所以二面角
的大小为
．(Ⅲ)
中，
，
．在正三棱柱中，
到平面的距离为
．设点
到平面的距离为
．由
得
，
．
点到平面的距离为
．解法二：(Ⅰ)取
中点，连结．为正三角形，．在正三棱柱中，平面平面，
平面．取
中点
，以为原点，
，
，
的方向为
轴的正方向建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
．平面．(Ⅱ)设平面
的法向量为
．
，
．
，
，
令
得
为平面的一个法向量．由(Ⅰ)知
平面，
为平面的法向量．
，
．二面角的大小为
．(Ⅲ)由(Ⅱ)，
为平面法向量，
．点到平面的距离
． - 题目来源：高考数学立体几何试题汇编