1．已知，那么角是(　)

A．第一或第二象限角　　　　　　　　　　 B．第二或第三象限角

C．第三或第四象限角　　　　　　　　　　 D．第一或第四象限角

2．函数的反函数的定义域为(　)

A．　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

3．平面平面的一个充分条件是(　)

A．存在一条直线　　　　　　　　　

B．存在一条直线

C．存在两条平行直线

D．存在两条异面直线

4．已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么(　)

A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　

C．　　　　　　　　 D．

5．记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有(　)

A．1440种　　　　　　　　 B．960种　　　　　　　　　 C．720种　　　　　　　　　 D．480种

6．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是(　)

A．　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　 D．或

7．如果正数满足，那么(　)

A．，且等号成立时的取值唯一

B．，且等号成立时的取值唯一

C．，且等号成立时的取值不唯一

D．，且等号成立时的取值不唯一

8．对于函数①，②，③，判断如下三个命题的真假：

命题甲：是偶函数；

命题乙：在上是减函数，在上是增函数；

命题丙：在上是增函数．

能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是(　)

A．①③　　　　　　　 B．①②　　　　　　　 C．③　　　　　　　　　 D．②

数学(理工农医类)

第II卷(共110分)

9．　　　　　　　　　　　　　　 ．

10．若数列的前项和，则此数列的通项公式为　　　　　　　　　　　 ；数列中数值最小的项是第　　　　　　　　　　　　　　　　 项．

11．在中，若，，，则　　　　　　　　　　　　　　　　 ．

12．已知集合，．若，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　　　 　　　 ．

13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．

14．已知函数，分别由下表给出

	1	2	3
	1	3	1

	1	2	3
	3	2	1

则的值为　　　　　　　　　　　　　　 ；满足的的值是　　　　　　　　　　　　　 ．

15．(本小题共13分)

数列中，，(是常数，)，且成公比不为的等比数列．

(I)求的值；

(II)求的通项公式．

16．(本小题共14分)

如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．

(I)求证：平面平面；

(II)当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；

(III)求与平面所成角的最大值．

17．(本小题共14分)

矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．

(I)求边所在直线的方程；

(II)求矩形外接圆的方程；

(III)若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．

18．(本小题共13分)

某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动)．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．

(I)求合唱团学生参加活动的人均次数；

(II)从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．

(III)从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．

19．(本小题共13分)

如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．

(I)求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；

(II)求面积的最大值．

20．已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：

，．

其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．

若对于任意的，总有，则称集合具有性质．

(I)检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；

(II)对任何具有性质的集合，证明：；

(III)判断和的大小关系，并证明你的结论．

数学(理工农医类)

1．C　　　　　　 2．B　　　　　　　　　 3．D　　　　　　　　　 4．A　　　　　　 5．B　　　　　　 6．D

7．A　　　　　　 8．D

9．　　　　　 10．　　　　 　　　　　 11．　　　　　　　　　　 12．　　　　　　

13．　　　　 14．　　　　　　

15．(共13分)

解：(I)，，，

因为，，成等比数列，

所以，

解得或．

当时，，不符合题意舍去，故．

(II)当时，由于

，

，

，

所以．

又，，故．

当时，上式也成立，

所以．

16．(共14分)

解法一：

(I)由题意，，，

是二面角是直二面角，

又二面角是直二面角，

，又，

平面，

又平面．

平面平面．

(II)作，垂足为，连结(如图)，则，

是异面直线与所成的角．

在中，，，

．

又．

在中，．

异面直线与所成角的大小为．

(III)由(I)知，平面，

是与平面所成的角，且．

当最小时，最大，

这时，，垂足为，，，

与平面所成角的最大值为．

解法二：

(I)同解法一．

(II)建立空间直角坐标系，如图，则，，，，

，，

．

异面直线与所成角的大小为．

(III)同解法一

17．(共14分)

解：(I)因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．

又因为点在直线上，

所以边所在直线的方程为．

．

(II)由解得点的坐标为，

因为矩形两条对角线的交点为．

所以为矩形外接圆的圆心．

又．

从而矩形外接圆的方程为．

(III)因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，

所以，

即．

故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．

因为实半轴长，半焦距．

所以虚半轴长．

从而动圆的圆心的轨迹方程为．

18．(共13分)

解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．

(I)该合唱团学生参加活动的人均次数为．

(II)从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为．

(III)从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件．易知

　　　　　　　 ；

　　　　　　　 ；

的分布列：

	0	1	2

的数学期望：．

19．(共13分)

解：(I)依题意，以的中点为原点建立直角坐标系(如图)，则点的横坐标为．

点的纵坐标满足方程，

解得

　，

其定义域为．

(II)记，

则．

令，得．

因为当时，；当时，，所以是的最大值．

因此，当时，也取得最大值，最大值为．

即梯形面积的最大值为．

20．(共13分)

(I)解：集合不具有性质．

集合具有性质，其相应的集合和是，

．

(II)证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．

因为，所以；

又因为当时，时，，所以当时，．

从而，集合中元素的个数最多为，

即．

(III)解：，证明如下：

(1)对于，根据定义，，，且，从而．

如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．

故与也是的不同元素．

可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，

(2)对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，

故与也是的不同元素．

可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，

由(1)(2)可知，．