13．　　　　 14．　　　　　　

15．(共13分) 解：(I)，，， 因为，，成等比数列， 所以， 解得或． 当时，，不符合题意舍去，故． (II)当时，由于 ， ， ， 所以． 又，，故． 当时，上式也成立， 所以．

16．(共14分) 解法一： (I)由题意，，， 是二面角是直二面角， 又二面角是直二面角， ，又， 平面， 又平面． 平面平面． (II)作，垂足为，连结(如图)，则， 是异面直线与所成的角． 在中，，， ． 又． 在中，． 异面直线与所成角的大小为． (III)由(I)知，平面， 是与平面所成的角，且． 当最小时，最大， 这时，，垂足为，，， 与平面所成角的最大值为． 解法二： (I)同解法一． (II)建立空间直角坐标系，如图，则，，，， ，， ． 异面直线与所成角的大小为． (III)同解法一

17．(共14分) 解：(I)因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为． 又因为点在直线上， 所以边所在直线的方程为． ． (II)由解得点的坐标为， 因为矩形两条对角线的交点为． 所以为矩形外接圆的圆心． 又． 从而矩形外接圆的方程为． (III)因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切， 所以， 即． 故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支． 因为实半轴长，半焦距． 所以虚半轴长． 从而动圆的圆心的轨迹方程为．

18．(共13分) 解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40． (I)该合唱团学生参加活动的人均次数为． (II)从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为． (III)从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件．易知 　　　　　　　 ； 　　　　　　　 ； 的分布列： 0 1 2 的数学期望：．

20．(共13分) (I)解：集合不具有性质． 集合具有性质，其相应的集合和是， ． (II)证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个． 因为，所以； 又因为当时，时，，所以当时，． 从而，集合中元素的个数最多为， 即． (III)解：，证明如下： (1)对于，根据定义，，，且，从而． 如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立． 故与也是的不同元素． 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即， (2)对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立， 故与也是的不同元素． 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即， 由(1)(2)可知，．