18．(本小题共13分) 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动)．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示． (I)求合唱团学生参加活动的人均次数； (II)从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率． (III)从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．

19．(本小题共13分) 如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为． (I)求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域； (II)求面积的最大值．

20．已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合： ，． 其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和． 若对于任意的，总有，则称集合具有性质． (I)检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和； (II)对任何具有性质的集合，证明：； (III)判断和的大小关系，并证明你的结论． 数学(理工农医类)

1．C　　　　　　 2．B　　　　　　　　　 3．D　　　　　　　　　 4．A　　　　　　 5．B　　　　　　 6．D

7．A　　　　　　 8．D

13．　　　　 14．　　　　　　

15．(共13分) 解：(I)，，， 因为，，成等比数列， 所以， 解得或． 当时，，不符合题意舍去，故． (II)当时，由于 ， ， ， 所以． 又，，故． 当时，上式也成立， 所以．

16．(共14分) 解法一： (I)由题意，，， 是二面角是直二面角， 又二面角是直二面角， ，又， 平面， 又平面． 平面平面． (II)作，垂足为，连结(如图)，则， 是异面直线与所成的角． 在中，，， ． 又． 在中，． 异面直线与所成角的大小为． (III)由(I)知，平面， 是与平面所成的角，且． 当最小时，最大， 这时，，垂足为，，， 与平面所成角的最大值为． 解法二： (I)同解法一． (II)建立空间直角坐标系，如图，则，，，， ，， ． 异面直线与所成角的大小为． (III)同解法一

17．(共14分) 解：(I)因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为． 又因为点在直线上， 所以边所在直线的方程为． ． (II)由解得点的坐标为， 因为矩形两条对角线的交点为． 所以为矩形外接圆的圆心． 又． 从而矩形外接圆的方程为． (III)因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切， 所以， 即． 故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支． 因为实半轴长，半焦距． 所以虚半轴长． 从而动圆的圆心的轨迹方程为．

18．(共13分) 解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40． (I)该合唱团学生参加活动的人均次数为． (II)从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为． (III)从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件．易知 　　　　　　　 ； 　　　　　　　 ； 的分布列： 0 1 2 的数学期望：．