Question

10．一物体在x轴上做直线运动，0为坐标原点，A的坐标x_A=0.5m，B的坐标x_B=1m，现在某物体从C点沿x轴向负方向运动，CB段做初速度为0的匀加速运动，加速度大小为$\frac{1}{2}$m/s²，经过时间t₁=2s到达B点，然后从B点继续向A运动，其中BA段的瞬时速度大小v与物体到原点0的距离x之间的关系满足：xv=k（其中k为某一常数）

（1）求C的坐标x_C
（2）求常数k   
（3）质点从B运动到A的时间t₂为多少？

Answer 1

分析 （1）根据位移时间公式求出物体在2s内的位移，结合B点的坐标求出C点的坐标．
（2）根据速度时间公式求出B点的速度，抓住物体到原点O的距离x与瞬时速度的关系求出常数k．
（3）将AB段分成无数小位移段，每一小段近似做匀速运动，通过累积法得出总时间，作出$\frac{1}{v}-x$图象，结合图线围成的面积求出运动的时间．

解答 解：（1）物体运动的位移$s=\frac{1}{2}a{t^2}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{2^2}=1m$，
故x_C=x_B+s=1+1m=2m．
（2）物体到达B的速度v_B=at=$\frac{1}{2}×2$m/s=1m/s，
由v_Bx_B=k
得k=1．
（3），把从B到A的位移分成无数个相等的小位移段，每段为△x，△x→0，每一小段的速度近似为匀速运动，速度分别为v₁，v₂…
由$△t=\frac{△x}{v}$，${t_{BA}}=\frac{△x}{v_1}+\frac{△x}{v_2}+…$
类比匀变速运动用v-t图象面积表示位移，可以建立$\frac{1}{v}-x$图象，$\frac{1}{v}$与x轴围成的面积表示时间．
${t_{BA}}=\frac{（0.5+1）}{2}×0.5=\frac{3}{8}s$
答：（1）C的坐标为x_c=2m．
（2）常数k为1．
（3）质点从B运动到A的时间为$\frac{3}{8}s$．

点评 解决本题的关键掌握匀变速直线运动的运动学公式，并能灵活运用，对于第三问，有一定的难度，可以类比与速度时间图线求位移的方法进行求解．