Question

2013年12月6日17时53分，嫦娥三号探测器成功完成一次“太空刹车”动作，顺利进入距月面平均高度H=100km的环月圆轨道，然后再次变轨进入椭圆轨道，最后进行月球表面软着陆．软着陆过程可简化为三个阶段：距月球表面15km时打开反推发动机减速，下降到距月球表面h₁=l00m高度时悬停，寻找合适落月点；找到落月点后继续下降，距月球表面h₂=4m时速度再次减为0；此后，关闭所有发动机，使它做自由落体运动落到月球表面．已知嫦娥三号质量为m，月球表面重力加速度为g′，月球半径为R，忽略嫦娥三号的质量变化．求嫦娥三号（所有结果均用题给字母表示）：
（1）经“太空刹车”后的速度大小；
（2）悬停时发动机对其的作用力；
（3）从悬停到落至月球表面，发动机对其做的功．

Answer 1

（1）设月球质量M，在圆轨道时，根据牛顿第二定律G

Mm

(R+H)2

=m

v2

R+H

静止在月球表面上的物体m′，
G

Mm′

R2

=m′g′
公式代入变换后得：v=

g′R2 R+H

．
（2）因受力平衡，有F=mg′
（3）从h₁=l00m处到达h₂=4m处过程，设发动机做功W₁
由动能定理mg′（h₁-h₂）+W₁=0
从h₂=4m处落至月面过程，关闭所有发动机，发动机做功为0
得发动机做功W=W1=mg′(h2-h1)
答：（1）经“太空刹车”后的速度大小v=

g′R2 R+H

．
（2）悬停时发动机对其的作用力为mg′．
（3）从悬停到落至月球表面，发动机对其做的功为mg′（h₂-h₁）．