Question

如图，一个质量为0.6kg 的小球以某一初速度从P点水平抛出，恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧（不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失）．已知圆弧的半径R=0.3m，θ=60°，小球到达A点时的速度 v=4m/s．取g=10m/s²，求：
（1）小球做平抛运动的初速度v₀；
（2）P点与A点的高度差；
（3）小球到达圆弧最高点C时对轨道的压力．

Answer 1

分析：（1）由题意，小球恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧，说明到到A点的速度v_A方向与水平方向的夹角为θ，根据速度的分解可以求出初速度v₀；
（2）平抛运动水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，根据平抛运动的基本规律求出P点与A点的高度差；
（3）选择从A到C的运动过程，运用动能定理求出C点速度，根据向心力公式求出小球在最高点C时对轨道的压力．

解答：解：（1）小球恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧，则小球到A点的速度与水平方向的夹角为θ，所以：
  v₀=v_x=v_Acosθ=4×0.5m/s=2m/s
（2）v_y=v_Asinθ=4×

3

2

m/s=2

3

m/s
由平抛运动的规律得：v_y²=2gh
带入数据，解得：h=0.6m．
（3）从A到C的运动过程中，运用动能定理得：

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

v

2 A

=-mgR（1+cosθ）
带入数据解之得：v_C=

7

m/s．
由圆周运动向心力公式得：N_C+mg=m

v 2 C

R

代入数据解之得：N_C=8N
由牛顿第三定律，得：小球对轨道的压力大小8N，方向竖直向上．
答：（1）小球做平抛运动的初速度v₀为2m/s；（2）P点与A点的高度差为0.6m；（3）小球到达圆弧最高点C时对轨道的压力大小为8N，方向竖直向上．

点评：本题是平抛运动和圆周运动相结合的典型题目，除了运用平抛运动和圆周运动的基本公式外，求速度的问题，动能定理不失为一种好的方法．