Question

11．学校科学实验小组的同学为了探究圆管内物体受到圆管的作用力大小与方向，设计了如图甲所示的装置．ABC是竖直放置的内壁光滑的细长玻璃管，管的内径可不计．其中AB部分长为L=1.4m，BC部分为半径R=0.4m的$\frac{1}{4}$圆弧弯管，管口C端的切线水平，管的上、下两侧接有力传感器P₁和P₂．管口A的下方固定一个弹簧，弹簧处于原长状态时，上端与A在同一水平面上．现将一个质量m=0.5kg的小球放置在弹簧上，小球的直径略小于管的内径．向下拉动手柄K，使弹簧压缩，松手后可以将小球弹出，不计小球与管壁碰撞时损失的能量，重力加速度取g=10m/s²．
（1）在某次实验中，同学们发现小球运动到C处时，力传感器P₁和P₂的示数恰好均为0N，则小球运动到C处时的速度v_c多大？
（2）在（1）问的实验中，弹簧中的弹性势能多大？
（3）同学们通过调节弹簧压缩的长度进行多次实验，并记录传感器P₁或P₂的示数F_N．试讨论弹簧弹性势能E_p与传感器P₁或P₂的示数F_N的关系，并以P₁的示数为正值、P₂的示数为负值在图乙的坐标系中作出E_p与F_N的图象．

Answer 1

分析 （1）小球运动到C处时由重力充当向心力，由此列式求小球运动到C处时的速度v_c．
（2）根据小球和弹簧组成的系统机械能守恒求弹簧中的弹性势能．
（3）根据小球和弹簧组成的系统机械能守恒得到弹簧中的弹性势能与小球运动到C处时的速度的关系式．在C点，根据牛顿第二定律和向心力公式列式，联立得到E_p与F_N的关系式，再画图象．

解答 解：（1）小球运动到C处时，由重力提供向心力，则有  mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
可得 v_C=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.4}$=2m/s
（2）根据小球和弹簧组成的系统机械能守恒得：
弹簧中的弹性势能 E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+mg（L+R）=$\frac{1}{2}$×0.5×2²+0.5×10×（1.4+0.4）=10J
（3）在C点，传感器P₁有示数时，对小球，由牛顿第二定律得
     mg+F_N=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
根据小球和弹簧组成的系统机械能守恒得：E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$+mg（L+R）
联立得 E_p=（0.2F_N+10）N（F_N＞0）
当F_N＜0时，传感器P₂有示数．作出E_p与F_N的图象如图．
答：
（1）小球运动到C处时的速度v_c是2m/s．
（2）弹簧中的弹性势能是10J．
（3）作出E_p与F_N的图象如图．

点评 根据小球的能量转化情况和受力情况，得到弹簧的弹性势能与传感器示数的关系式是解题的关键．要注意在C点，由合力提供向心力．