Question

20．如图所示，xOy坐标系中，在y轴右侧有一平行于y轴的边界PQ，PQ左侧和右侧存在磁感应强度大小分别为B和$\frac{B}{2}$的匀强磁场，磁场方向均垂直于xOy平面向里，y轴上有一点A与原点O的距离为l，电荷量为q，质量为m的带正电粒子，以某一速度从坐标原点O处沿x轴正方向射出，经过的时间为t=$\frac{4πm}{3qB}$时恰好到达A点，不计粒子的重力作用
（1）求边界PQ与y轴的距离d和粒子从O点射出的速度大小v₀；
（2）若相同的粒子以更大的速度从原点O处沿x轴正方向射出，为使粒子能经过A点，粒子的速度大小应为多大？

Answer 1

分析 （1）带电粒子先在左侧磁场做匀速圆周运动，由入射方向可以确定在该磁场中做匀速圆周运动的圆心在y轴上，当转过一定角度后，进入右侧磁场做同方向的匀速圆周运动，最后在进入左侧恰好达到A点，由带电粒子在两边磁场中运动的总时间列出方程从而可以求出在右侧磁场中偏转角，结合周期公式和半径公式、几何关系可以求得边界PQ与y轴的距离d和粒子从O点射出的速度大小v₀．
（2）在第一问的基础上，当带电粒子速度增大时，其半径也增大，表示出粒子在左侧和右侧运动一次在y轴上上移的距离y，要使带电粒子能够回到A点，则有l=ny，把相应的半径公式代入就能求得速度的可能值．

解答 解：带电粒子在左侧和右侧做匀速圆周运动，分别有：
    $q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{{r}_{1}}$   $q{v}_{0}•\frac{B}{2}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{{r}_{2}}$
  可得半径：
   ${r}_{1}=\frac{m{v}_{0}}{qB}$   且  r₂=2r₁
  由$T=\frac{2πr}{v}$  可得：
   ${T}_{1}=\frac{2πm}{qB}$    且   T₂=2T₁
（1）粒子射出后经过时间为$t=\frac{4πm}{3qB}$  时恰好到达A点，运动情况如图所示，
  设图中圆弧DE对应的圆心角为θ，则O点运动到A点的时间为
    $\frac{θ}{360°}{T}_{2}$+$\frac{180°-θ}{360}{T}_{1}$=$\frac{4πm}{3qB}$
   解得：θ=60°
△C₁C₂C₃  为等边三角形，几何关系为
     l=2r₁+（r₂-r₁）
     d=r₁cos30°
  解得PQ与y轴的距离d和粒子从O点射出的速度大小v₀分别为
     $d=\frac{\sqrt{3}l}{6}$
    ${v}_{0}=\frac{qBl}{3m}$
（2）以更大速度射出的粒子，必然是从y轴较高点转向下方时经过A点，
  粒子运动一个周期，运动情况如图所示，设图中∠C₃DF=α，则粒子运
  动一个周期在y轴上的位移y=2r₁+2（r₂-r₁）sinα-2r₁     （或y=2r₁sinα）
         $cosα=\frac{d}{{r}_{1}}$
  经过A点的条件是  ny=l    （n=1、2、3…）  解得
       v=$\frac{qBl}{2m}\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{1}{{n}^{2}}}$     （n=1、2、3…）
  考虑到v＞v₀=$\frac{qBl}{3m}$，因此n只能取1或2  
  即粒子的速度大小为
       $v=\frac{qBl}{\sqrt{3}m}$   或v=$\frac{\sqrt{21}qBl}{12m}$
  （或v=$\frac{qBl}{2m}\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{1}{{n}^{2}}}$      （n=1、2）
答：（1）求边界PQ与y轴的距离d为$\frac{\sqrt{3}l}{6}$和粒子从O点射出的速度大小v₀为$\frac{qBl}{3m}$．
（2）若相同的粒子以更大的速度从原点O处沿x轴正方向射出，为使粒子能经过A点，粒子的速度大小应为$v=\frac{qBl}{\sqrt{3}m}$或$\frac{\sqrt{21}qBl}{12m}$．

点评 本题的与从不同在于：①粒子在方向相同但大小不同的两个磁场区域内做匀速圆周运动，已知磁感应强度关系，也就知道了半径关系，由于进入两个磁场的速度方向不能突变，所以偏向角有一定关系，从而时间也有了一定的关系．②当速度增大时，半径也要增大，要使带电粒子同样能到达A点，则粒子在左、右两侧磁场中各偏转一次向上上移的距离之和的整数倍等于OA长．