Question

20．如图所示，在半径为R的圆形区域内充满垂直纸面向内的匀强磁场，AB为该圆形磁场的直径，O为圆心．现有两个带电粒子a、b同时从圆周上以平行于直径AB的方向射入磁场，射入点距直径AB的距离分别为0.8R和0.6R，粒子a、b同时到达B点，不计粒子重力，sin37°=0.6，则（　　）

• A． 粒子a带正电，粒子b带负电
• B． 粒子a、b在磁场中运动半径之比$\frac{{r}_{a}}{{r}_{b}}$=$\frac{2}{3}$
• C． 粒子a、b在磁场中运动周期之比$\frac{{T}_{a}}{{T}_{b}}$=$\frac{3}{4}$
• D． 粒子a、b在磁场中运动速度之比$\frac{{v}_{a}}{{v}_{b}}$=$\frac{106}{111}$

Answer 1

分析 本题完全是一道带电粒子在磁场中做匀速圆周运动应用的实例，两个粒子进行对比，通过计算带电粒子在磁场中运动的时间和半径由哪些因素决定，从而巩固洛仑兹力的相关内容．

解答 解：画出a、b两带电粒子在磁场的运动轨迹如图所示，圆心分别为O_a、O_b，半径分别为r_a、r_b，（aD）²=BD×（2R-BD）代入数据得：BD=1.6R，同理可得：CB=1.8R．由几何关系可得：（r_a-0.8R）²+DB²=r_a²，代入求得r_a=2R，同理得：r_b=3R．由洛仑兹力提供向心力qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，可得半径公式r=$\frac{mv}{Bq}$．周期T=$\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$．
A、根据左手定则及a、b粒子的偏转方向可知，a带负电，b带正电，选项A错误．
B、根据几何关系已经求出r_a=2R，r_b=3R，所以$\frac{{r}_{a}}{{r}_{b}}=\frac{2R}{3R}=\frac{2}{3}$，选项B正确．
C、D\由题意两粒子是同进出发同时到达E点，由几何关系，两粒子在磁场中运动的弧长${S}_{a}={r}_{a}×∠{O}_{a}=2R×arcsin\frac{BD}{BE}$=$\frac{53}{90}πR$，${S}_{b}={r}_{b}×∠{O}_{b}=3Rarcsin\frac{BC}{B{O}_{b}}$=$\frac{37}{60}πR$，所以两粒子的速度之比：$\frac{{v}_{a}}{{v}_{b}}=\frac{{S}_{a}}{{S}_{b}}=\frac{106}{111}$，由半径公式r=$\frac{mv}{Bq}$得：粒子的比荷=$\frac{q}{m}=\frac{v}{Br}$两粒子的比荷之比为$\frac{（荷比）_{a}}{（荷{比）}_{b}}=\frac{\frac{{v}_{a}}{B{r}_{a}}}{\frac{{v}_{b}}{B{r}_{b}}}$=$\frac{{v}_{a}}{{v}_{b}}×\frac{{r}_{b}}{{r}_{a}}=\frac{106}{111}×\frac{3}{2}=\frac{53}{37}$，周期之比$\frac{{T}_{a}}{{T}_{b}}=\frac{（比荷）_{b}}{（比荷）_{a}}=\frac{37}{53}$，所以选项C错误，选项D正确．
故选：BD

点评 本题的靓点在于①两个带电粒子在圆形磁场区域内做匀速圆周运动的对比，由于粒子不同、速度不同，但同时到达E点，有一个等时关系．②先由几何关系求出各自半径和偏转角，再由等时关系确定速度关系，最后由速度关系求得两粒子的比荷关系，从而求出两粒子做匀速圆周运动的周期关系．