Question

12．如图所示，某快递公司需将质量为m=200Kg的货物（可视为质点）从高处运送至地面，为避免货物与地面发生撞击，现利用固定于地面的光滑四分之一圆轨道，使货物由轨道顶端无初速滑下，轨道半径R=1.8m．地面上紧靠轨道放置一质量M=100kg的平板车，平板车上表面与轨道末端相切．货物与平板车间的动摩擦因数为μ=0.5，平板车与水平地面间的摩擦力很小，可忽略不计．最终货物与平板车达到共同速度一起向右运动，并与竖直墙壁发生碰撞．设碰撞时间极短且碰撞后平板车速度大小保持不变，但方向与原来相反，平板车足够长，使得货物总不能和墙相碰（取g=10m/s²）．
求：
（1）求货物到达圆轨道末端时对轨道压力的大小；
（2）货物在平板车上滑行的总路程；
（3）平板车和墙第一次相碰以后平板车所走的总路程．

Answer 1

分析 （1）货物在光滑圆轨道下滑的过程中，只有重力做功，其机械能守恒，根据机械能守恒可以得出货物到达圆轨道末端时时的速度，再由向心力的公式可以求得货物受到的支持力的大小，根据牛顿第三定律可以得到货物到达圆轨道末端时对轨道的压力大小；
（2）货物滑上平板后，在摩擦力作用下，货物与车的机械能不断损失，最终均静止，由能量守恒定律求货物在平板车上滑行的总路程；
（3）要分析平板车的运动过程：先由动量守恒定律求出车与墙第一次碰撞前货物与车的共同速度．再由动量守恒定律求得两者第二次相对静止时的共同速度．由动能定理求出平板车向左运动的路程．再用同样的方法求出车与墙第二次碰撞前货物与车的共同速度．再由动量守恒定律求得两者第三次相对静止时的共同速度．由动能定理求出平板车向左运动的路程．找出规律，运用归纳法求车和墙第一次相碰以后平板车所走的总路程．

解答 解：（1）货物从圆轨道最高点滑到最低点的过程，由机械能守恒定律得
   mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$ ①
在轨道最低点，由牛顿第二定律得 F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ ②
联立①②可得 F_N=6000N
由牛顿第三定律得货物在最低点对轨道的压力大小 F_N′=F_N=6000N
（2）货物与车最终均静止，由能量守恒定律得
   $\frac{1}{2}m{v}^{2}$=μmgS_m   ③
解得货物在平板车上滑行的总路程 S_m=3.6m
（3）货物从轨道滑上平板车到保持相对静止的过程中，取向右为正方向，由动量守恒定律得
   mv=（m+M）v₀．④
从第一次碰撞后到第二次保持相对静止的过程中，由动量守恒定律得
   mv₀-Mv₀=（m+M）v₁．⑤
设平板车向左滑动的路程为s₁．
由动能定理得-μmgs₁=0-$\frac{1}{2}M{v}_{0}^{2}$ ⑥
联立①④⑤⑥得 s₁=0.8m，v₁=$\frac{1}{3}$v₀．
第二次与墙碰撞后，同理有
   mv₁-Mv₁=（m+M）v₂．⑦
-μmgs₂=0-$\frac{1}{2}M{v}_{1}^{2}$ ⑧
解 s₂=$\frac{1}{9}$s₁，v₂=$\frac{1}{3}$v₁．
根据对数据分析可知：平板车向左滑行的路程为无穷等比数列，首列 s₁=0.8m，公式 q=$\frac{1}{9}$
所以平板车和墙第一次相碰以后平板车所走的总路程 S=2（s₁+s₂+…）=2×s₁×$\frac{1}{1-q}$=1.8m
答：
（1）货物到达圆轨道末端时对轨道压力的大小是6000N；
（2）货物在平板车上滑行的总路程是3.6m；
（3）平板车和墙第一次相碰以后平板车所走的总路程是1.8m．

点评 本题物理中数列问题，关键是正确分析平板车的运动过程，根据动量守恒定律和动能定理分析每次碰撞后平板车向左运动的路程，找出规律，由数学知识进行研究．