Question

6．如图，两根形状相同、足够长的光滑金属导轨固定，相互平行，间距为L，两连接点a、b连线垂直于所有导轨，左底端接有阻值为R的电阻，倾斜导轨所在平面与水平面夹角为θ，平面内有磁感应强度为B₁、方向垂直于平面向上的匀强磁场；水平导轨在同一水平面，所在区域有磁感应强度为B₂、方向竖直向上的匀强磁场．阻值为R、质量为m的相同导体杆A、B，A在倾斜导轨上，B在水平导轨上，都垂直于导轨．
       开始时，A以初速度v₀开始沿倾斜导轨向上滑行，B在外力作用下保持静止；A上滑通过距离x到达最高点时（此时A仍在倾斜导轨上），B瞬间获得一个水平初速度并在外力作用下以此速度做匀速直线运动（B始终在水平导轨上并保持与导轨垂直），A恰能静止在倾斜导轨上．求：
（1）在A上滑的过程中，电阻R上产生的热量；
（2）B做匀速运动时速度的方向、大小；
（3）使B做匀速运动的外力的功率．

Answer 1

分析 （1）根据能量守恒定律求解产生的总能量，分析电路的连接情况，根据能量分配关系求解电阻R上产生的热量；
（2）根据右手定则、左手定则判断B做匀速运动速度的方向，根据导体切割磁感应线产生的感应电动势计算公式求解电动势，再根据闭合电路的欧姆定律求解感应电流大小，根据共点力的平衡条件求解速度大小；
（3）设使B做匀速运动的外力大小为F，做功功率为P，根据安培力的计算公式和功率速度关系求解外力的功率．

解答 解：（1）当A上滑到最高点时，速度减为零，设电路中产生的总热量为Q_总，根据能量守恒定律可得：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=mgxsinθ+{Q}_{总}$，
由于B与R并联后再与A串联，设电阻R上产生的热量为Q，则Q=$\frac{1}{6}{Q}_{总}$，
解得：Q=$\frac{m{v}_{0}^{2}-2mgxsinθ}{12}$；
（2）要使A静止在倾斜导轨上，受到的安培力沿倾斜导轨向上，根据右手定则、左手定则知，B做匀速运动速度的方向向右；
设B杆匀速运动的速度大小为v，其中的感应电动势为E，流过A杆的电流为I₁，流过B杆的电流为I₂，则E=B₂Lv；
I₂=$\frac{E}{R+\frac{1}{2}R}=\frac{2E}{3R}$，
I₂=2I₁，mgsinθ=B₁I₁L，
解得：v=$\frac{3mgRsinθ}{{B}_{1}{B}_{2}{L}^{2}}$；
（3）设使B做匀速运动的外力大小为F，做功功率为P，则：
F=B₂I₂L，P=Fv，
解得：P=$\frac{6{m}^{2}{g}^{2}Rsi{n}^{2}θ}{{B}_{1}^{2}{L}^{2}}$．
答：（1）在A上滑的过程中，电阻R上产生的热量为$\frac{m{v}_{0}^{2}-2mgxsinθ}{12}$；
（2）B做匀速运动时速度的方向向右、大小为$\frac{3mgRsinθ}{{B}_{1}{B}_{2}{L}^{2}}$；
（3）使B做匀速运动的外力的功率$\frac{6{m}^{2}{g}^{2}Rsi{n}^{2}θ}{{B}_{1}^{2}{L}^{2}}$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．