Question

质量均为m的两小球A、B间有压缩的轻、短弹簧，弹簧处于锁定状态，两球的大小尺寸和弹簧尺寸都可忽略，把它们放入固定在水平面上的竖直光滑发射管内，解除弹簧锁定后，B球仍然保持静止，A球能上升的最大高度为R，如图（甲）所示．现在让两球（包括同样锁定的弹簧）沿光滑的半径也为R 的固定半圆槽左端的M 点由静止开始滑下，如图（乙）所示，到达半圆槽的最低点时解除弹簧锁定，求A 球离开半圆槽后能上升的最大高度．

Answer 1

分析：图甲中，把装置放入固定在水平面上的竖直光滑发射管内，解除弹簧锁定后，弹簧的弹性势能全部转化为A球的动能，A球的动能又转化为重力势能，根据机械能守恒可得到弹簧的弹性势能；
图乙中，系统由水平位置滑到圆轨道最低点时系统的机械能守恒，动量守恒，根据两个守恒列式，求出解除弹簧锁定后，弹簧恢复到原长时A、B的速度，再对A球，由机械能守恒求解最大高度．

解答：解：图甲中，解除锁定后，弹簧将弹性势能全部转化为A球的机械能，则弹簧的弹性势能为：E_弹=mgR
较长乙中，AB系统由水平位置滑到圆轨道最低点时速度为v₀，由机械能守恒定律有：
2mgR=

1

2

?2mv₀²
解除弹簧锁定后，弹簧恢复到原长时，A、B的速度分别为v_A、v_B，由系统的动量守恒和机械能守恒，则有：
2mv₀=mv_A+mv_B

1

2

?2mv₀²+E_弹=

1

2

mv_A²+

1

2

mv_B²
解得：v_A=

2gR

-

gR

  （不符合题意，舍去）
      v_A=

2gR

+

gR

设A球相对于半圆槽口上升最大高度为h，则：
mg（h+R）=

1

2

mv_A²
解得：h=（

1

2

+

2

）R≈1.9R
答：A 球离开半圆槽后能上升的最大高度是1.9R．

点评：本题有两种情形，多过程问题，首先要抓住两种情况相等的量：弹簧的弹性势能相等；二要把握乙图中物理规律：系统的机械能守恒和动量守恒进行求解．