Question

如图所示，质量均为m的两小球A和B用长为3L的轻杆相连，轻杆可绕距A小球2L的轴O在竖直平面内自由转动．现将轻杆拉至水平位置并由静止释放，试求：
（1）在轻杆运动到竖直位置时，A小球的速度v_A=？
（2）在轻杆运动到竖直位置的过程中，杆对A球所做的功？
（3）当轻杆转动到竖直位置时，杆对转轴O的作用力的大小和方向？

Answer 1

分析：（1）小球A、B系统中，只有重力势能和动能相互转化，机械能守恒，根据守恒定律列式求解即可；
（2）杆对A球做的功等于A球机械能的增加量，根据功能关系列式求解即可；
（3）先分别求解出杆对A、B小球的作用力，然后结合牛顿第三定律列式求解出球对杆的作用力，最后根据平衡条件得到杆对转轴O的作用力的大小和方向．

解答：解：（1）A、B在同一个杆上，所以A、B具有相同的角速度．记细杆转到竖直位置时的角速度为ω．则线速度ω_A=OA×ω=2Lω，v_B=OB×ω=Lω； 
所以，v_B=

1

2

v_A      ①
根据机械能守恒定律，有重力势能的减小量等于系统动能的增加量，故
mg×2L-mgL=

1

2

m

v

2 A

+

1

2

m

v

2 B

       ②
联立①②解得
vA=2

2 5 gL

vB=

2 5 gL

（2）根据功能关系可知，杆对A球做的功等于A球机械能的增加量，即
W=

1

2

m

v

2 A

-mg×2L=-1.2mgL
（3）对B球，vB=

2 5 gL

＜

gL

，故受重力和支持力，合力提供向心力，有
mg-FB=m

v 2 B

L

    ③
对A球，受重力和拉力，合力提供向心力，有
FA-mg=m

v 2 A

2L

     ④
由③④两式解得
F_B=0.6mg
F_A=1.8mg
根据牛顿第三定律，球B对杆向下的弹力为0.6mg，球A对杆向上的弹力为1.8mg，故杆对转轴的作用力为1.8mg-0.6mg=1.2mg，向上；
答：（1）在轻杆运动到竖直位置时，A小球的速度v_A=2

2 5 gL

；
（2）在轻杆运动到竖直位置的过程中，杆对A球所做的功为-1.2mgL；
（3）当轻杆转动到竖直位置时，杆对转轴O的作用力的大小为1.2mg，方向向上．

点评：本题关键是A、B小球整体机械能守恒，根据守恒定律列式求解速度，然后根据牛顿第二定律并结合向心力公式列式求解弹力．