Question

1．如图所示，光滑绝缘的正方形水平桌面边长为d=0.48m，离地高度h=1.25m．桌面上存在一水平向左的匀强电场（除此之外其余位置均无电场），电场强度E=1×10⁴N/C．在水平桌面上某一位置P处有一质量m=0.01kg，电量q=1×10^-6C的带正电小球以初速v₀=1m/s向右运动．空气阻力忽略不计，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）小球在桌面上运动时加速度的大小和方向？
（2）P处距右端桌面多远时，小球从开始运动到最终落地的水平距离最大？并求出该最大水平距离？

Answer 1

分析 （1）对小球受力分析，受到重力、支持力和电场力，根据牛顿第二定律列式求加速度即可；
（2）先假设桌面足够长，计算出速度减为零需要的减速距离，判断出小球只能从右侧滚下，然后根据运动学公式求出平抛的初速度，再结合平抛运动的知识求得射程的一般表达式，得到初末位置的水平距离，根据数学知识得到其最大值．

解答 解：（1）对小球受力分析，受到重力、支持力和电场力，重力和支持力平衡，根据牛顿第二定律有
 a=$\frac{F}{m}$=$\frac{qE}{m}$=$\frac{1{0}^{-6}×1{0}^{-4}}{0.01}$=1.0m/s²      
方向：水平向左
（2）设球到桌面右边的距离为x₁，球离开桌面后作平抛运动的水平距离为x₂，则
  x_总=x₁+x₂
由v²-v₀²=-2ax₁
代入得 v=$\sqrt{1-2×1×{x}_{1}}$=$\sqrt{1-2{x}_{1}}$
设平抛运动的时间为t，根据平抛运动的分位移公式，有
 h=$\frac{1}{2}$gt²  
代入得t=0.5s
水平方向，有
x₂=vt=0.5$\sqrt{1-2{x}_{1}}$
故 x_总=x₁+0.5$\sqrt{1-2{x}_{1}}$
令y=$\sqrt{1-2{x}_{1}}$
则 x_总=$\frac{1-{y}^{2}+y}{2}$
故，当y=$\frac{1}{2}$，即x₁=$\frac{3}{8}$m时，水平距离最大
最大值为：x_m=$\frac{5}{8}$m  
即距桌面右端$\frac{3}{8}$m处放入，有最大水平距离为$\frac{5}{8}$m．
答：
（1）小球在桌面上运动时加速度的大小为1.0m/s²，方向：水平向左．
（2）距桌面右端$\frac{3}{8}$m处放入，有最大水平距离为$\frac{5}{8}$m．

点评 本题关键根据牛顿第二定律求出加速度后，结合平抛运动的分位移公式得出初末位置的水平距离表达式，最后根据数学知识求极大值．