Question

10．如图所示，一半径为R的刚性光滑球体静止放置，质量为M的圆环状均匀弹性绳水平套在球体上，已知绳环原长时的半径为a=$\frac{R}{2}$，套在球体上时绳环的半径变为b=$\sqrt{2}$a，假设弹性绳满足胡克定律，求此弹性绳的劲度系数k．

Answer 1

分析 在弹性绳上取一微元，得出这一微元的质量以及该微元受到弹性绳两端拉力的合力，对该微元受力分析，根据共点力平衡求出弹力的大小，结合胡克定律求出弹性绳的劲度系数．

解答 解：在弹性绳上取一小段微元△m，该微元所对应的圆心角为△θ，微元△m的长度为b△θ，则$△m=\frac{M}{2πb}b△θ=\frac{M}{2π}△θ$，
微元两端受到弹性绳的合力为$2F•\frac{△θ}{2}$．
x=2π（b-a），a=$\frac{R}{2}$，b=$\sqrt{2}a=\frac{\sqrt{2}R}{2}$，根据几何关系知，支持力与水平方向的夹角为45°，
根据共点力平衡有：$2F\frac{△θ}{2}=△mg=\frac{M}{2π}△θ$g，
解得弹性绳的弹力F=$\frac{Mg}{2π}$，
根据胡克定律得，F=kx=k•2π（b-a），解得k=$\frac{\sqrt{2}+1}{2{π}^{2}}（\frac{Mg}{R}）$．
答：弹性绳的劲度系数为$\frac{\sqrt{2}+1}{2{π}^{2}}（\frac{Mg}{R}）$．

点评 本题考查了共点力平衡和胡克定律的综合运用，难度较大，难点在于通过微元法进行求解，需注意该微元两端都受到弹性绳的弹力，本题对数学几何能力的要求也较高．