Question

13．某物理课外兴趣小组设计了如图所示装置，AB段为一竖直圆管，BC为一半径为R=0.4m的半圆轨道，C端的下方有一质量为M=2kg的小车，车上有半径r=0.2m的半圆轨道，E为轨道最低点，左侧紧靠一固定障碍物，在直管的下方固定一锁定的处于压缩的轻质弹簧，弹簧上端放置一质量为m=1kg的小球（小球直径略小于圆管的直径，远远小于R、r）．小球到B端的距离为h₁=1.2m，C、D间竖直距离为h₂=1m．某时刻，解除弹簧的锁定，小球恰好能通过BC的最高点P；从C端射出后恰好从D端沿切线进入半圆轨道DEF，并能从F端飞出．若各个接触面都光滑，重力加速度取g=10m/s²，则：
（1）弹簧被释放前具有的弹性势能E_P大小是多少？
（2）小球从F点飞出后能上升的最大高度是多少？
（3）小球下落返回到E点时对轨道的压力大小是多少？

Answer 1

分析 （1）对小球应用机械能守恒定律与牛顿第二定律可以求出弹簧的弹性势能；
（2）由机械能守恒定律与动量守恒定律可以求出小球上升的最大高度；
（3）由动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出速度，然后由运动的相对性求出相对速度，最后由牛顿第二定律求出压力．

解答 解：（1）由A到P过程中，小球机械能守恒，
由机械能守恒定律得：E_P=mg（h₁+R）+$\frac{1}{2}$mv²，
在P点，由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：E_P=18J，v=2m/s；
（2）P到E过程中，小球机械能守恒，由机械能守恒定律得：
mg（R+h₂+r）=$\frac{1}{2}$mv_P²+$\frac{1}{2}$mv_E²，
解得：v_E=6m/s，
小球由E上升到最高点过程中，小球与车组成的系统在水平方向动量守恒，系统机械能守恒，以球的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
mv_E=（M+m）v，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv_E²=$\frac{1}{2}$（M+m）v²+mg（h+r），
代入数据联立解得：h=1m；
（3）小球从第一次经过E点到再次返回到E点的过程中，小球与小车组成的系统在水平方向动量守恒，系统机械能守恒，
以小球的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：mv_E=mv₁+Mv₂，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv_E²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂²，
解得，小球的速度大小：v₁=2m/s，方向水平向左，
小车的速度大小：v₂=4m/s，方向水平向右；
小球与小车运动的方向相反，所以二者的相对速度：u=|v₁|+|v₂|=2+4=6m/s
则小球受到的支持力：${F}_{N}=mg+\frac{m{u}^{2}}{r}$=190N
根据牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力为190N．
答：（1）弹簧被释放前具有的弹性势能为18J；
（2）小球从F点飞出后能上升的最大高度为1m；
（3）小球下落返回到E点时，对轨道的压力大小是190N．

点评 本题是一道力学综合题，运动过程较复杂，分析清楚运动过程是正确解题的前提与关键，分析清楚运动过程后，应用机械能守恒定律、动量守恒定律、牛顿第二定律即可正确解题．