Question

17．如图所示，水平圆形转台能绕过圆心的竖直转轴转动，转台半径R=1m，在转台的边缘叠放物体A、B（均可看作质点），A、B之间的动摩擦因数μ₁=0.6，B与转台之间动摩擦因数μ₂=0.8，且m_A=2kg，m_B=5kg．（g取10m/s²，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）
（1）若开始的时候转台边缘只放上了B物体，求随着转速的增加，B物体即将发生滑动时所对应的角速度ω；
（2）当物体A、B叠放在一起的时候，转台以ω₁=2rad/s匀速转动，如图a，求此时B对转台的摩擦力大小；
（3）现用一根长l=$\sqrt{2}$m的轻绳将B、C相连，轻绳能够承受的最大拉力为10$\sqrt{2}$N，C物体（可看作质点）的质量为m_C=1kg，让转台从静止缓慢加速，如图b，求细绳即将拉断的瞬间（还未拉断）转台所对应的角速度，以及此时转台对B物体的摩擦力．

Answer 1

分析 （1）最大静摩擦力提供向心力即可求得最大角速度；
（2）判断出AB不发生滑动和A不发生滑动时转动的角速度，根据牛顿第二定律求得摩擦力的大小；
（3）对C受力分析，根据牛顿第二定律求得转动的角速度，然后对AB组成的整体根据牛顿第二定律判断出加速度和摩擦力

解答 解：
（1）B物体即将发生滑动时
对B：${μ}_{2}{m}_{B}g={m}_{B}{ω}^{2}R$
解得：$ω=2\sqrt{2}rad/s$
（2）假设A、B无相对运动，则它们恰好滑离台面时
对AB：${μ}_{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）g=（{m}_{A}+{m}_{B}{）ω}_{0}^{2}R$
解得：${ω}_{0}=2\sqrt{2}rad/s$
同理，A恰好滑离B时有
对A：${μ}_{1}{m}_{A}g={{m}_{A}ω′}_{0}^{2}R$
解得：$ω{′}_{0}=\sqrt{6}rad/s$
由于ω₁＜ω₀＜ω′₀，所以此时A、B和转台保持相对静止
则对AB：$f=（{m}_{A}+{m}_{B}{）ω}_{1}^{2}R$
由牛顿第三定律得：f′=f=28N
（3）绳子即将拉断的瞬间，设绳与竖直方向夹角为θ
对C，竖直方向：Tcosθ=m_Cg
水平方向：$Tsinθ={{m}_{C}ω}_{2}^{2}（R+Lsinθ）$
解得：${ω}_{2}=\sqrt{5}rad/s$，θ=45°
由于ω₂＜ω′₀，则物体A不可能单独滑离转台
设AB与转台保持相对静止，B受静摩擦力为f_B
对AB：${f}_{B}-Tsinθ=（{m}_{A}+{m}_{B}{）ω}_{2}^{2}R$
解得：f_B=45N＜μ₂（m_A+m_B+m_C）g，则假设成立   
则f_B=45N
方向：沿半径指向圆心                   
答：（1）随着转速的增加，B物体即将发生滑动时所对应的角速度ω为$2\sqrt{2}rad/s$
（2）此时B对转台的摩擦力大小为28N
（3）细绳即将拉断的瞬间（还未拉断）转台所对应的角速度为$\sqrt{5}rad/s$，以及此时转台对B物体的摩擦力为45N

点评 本题主要考查了向心力公式的直接应用，解题的关键是正确对物体进行受力分析，知道B对转台摩擦力第一次发生突变时的临界条件，特别注意C做圆周运动的半径是C到转轴的距离，难度较大，属于难题．