Question

8．如图所示，竖直平面内的直角坐标系xoy中，在x＜0的区域内存在竖直方向的匀强电场（图中未画出），第三象限内平行于y轴的虚线左侧区域Ⅰ中还存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，有一长为8.5L的绝缘粗糙直杆沿与x轴正方向成θ=37°固定放置，其PQ段中点恰好与坐标原点O重合，端点Q在区域Ⅰ的边界上，质量为m、电荷量为q（q＞0）的小球（可视为质点）穿在直杆上，小球可在杆上只有滑动，将小球从P点静止释放，小球沿杆运动，随后从Q端离开直杆进入区域Ⅰ，小球在区域Ⅰ中恰好做匀速圆周运动，一段时间后垂直穿过x轴，已知PQ段长度为L，小球和杆之间的动摩擦因数μ=0.5，整个过程中小球所带电荷量不变，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求
（1）场强的大小及方向
（2）磁感应强度的大小
（3）若改变小球在直杆上静止释放的位置，求小球从Q点经磁场偏转后直接到达x轴的时间．

Answer 1

分析 （1）由于小球在Ⅰ区受三个力作用做匀速圆周运动，则其中的重力及电场力平衡，从而求出电场强度的大小和方向．
（2）从P点到Q点由动能定理求出进入磁场的速度，由于是垂直到达x轴，所以很容易确定小球做匀速圆周运动的圆心和半径，由洛仑兹力提供向心力求出磁感应强度．
（3）同样道理，从横坐标x处自由滑下的小球由动能定理求出进入磁场的速度，由于半径发生变化，画出轨迹，由几何关系求出小球转过的角度，由周期公式从而求出从Q点到达x轴的时间．

解答 解：（1）由题意，小球进入Ⅰ区后恰好做匀速圆周运动，则可知：Eq=mg 
所以x＜0区的电场强度E=$\frac{mg}{q}$  方向竖直向上．
（2）从P到Q点，由动能定理得：$mglsinθ-μmgcosθ•\frac{l}{2}-Eq\frac{l}{2}sinθ=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入可得：v=$\frac{\sqrt{5gl}}{5}$=$\sqrt{2l}$
由于粒子做匀速圆周运动垂直打在x轴上，由几何关系就能求出做匀速圆周运动的半径为：r=$\frac{l}{2}$tgθ=$\frac{3}{8}l$
由洛仑兹力提供向心力，有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$
就能求得：B=$\frac{8\sqrt{2}m}{3q\sqrt{l}}$
（3）设小球从横坐标为x处自由滑下，由动能定理可得：$mg（xtgθ+\frac{l}{2}sinθ）-μmgcosθ•\frac{x}{cosθ}-Eq\frac{l}{2}sinθ$=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
从而求$v′=5\sqrt{x}$
在Ⅰ区内做匀速圆周运动，由上述结论半径为：r=$\frac{mv′}{qB}$=$\frac{15}{8}\sqrt{lx}$
由几何关系有：cosα=$\frac{AB}{r}=\frac{（r-\frac{l}{2}tgθ）}{cosθ•r}$=$\frac{5}{4}-\frac{15l}{32r}$=$\frac{5}{4}-\frac{3l}{32\sqrt{x}}$
小球离开杆到达x轴的时间为：t=$\frac{α+θ}{2π}T$=$\frac{arccos（\frac{5}{4}-\frac{3l}{32\sqrt{x}}）+θ}{960}π\sqrt{2l}$   （其中α、θ均有°表示）
答：（1）场强的大小是$\frac{mg}{q}$，方向为竖直向上．
（2）磁感应强度的大小为$\frac{8\sqrt{2}m}{3q\sqrt{l}}$．
3）若改变小球在直杆上静止释放的位置，小球从Q点经磁场偏转后直接到达x轴的时间为$\frac{arccos（\frac{5}{4}-\frac{3l}{32\sqrt{x}}）+θ}{960}π\sqrt{2l}$．

点评 本题要注意的几个问题：①是由于重力与电场力抵消，所以小球从O点到Q点也不受支持力和摩擦力，合力为零，做匀速直线运动．②第三问先假设从横坐标x处自由滑下，求出进入磁场的速度，确定圆心和半径，求出转过的角度，从而也就求出了时间．