Question

15．如图所示，P是一颗地球同步卫星，已知球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转周期为T．
（1）设地球同步卫星对地球的张角为2θ，求同步卫星的轨道半径r和sinθ的值．
（2）要使一颗地球同步卫星能覆盖赤道上A，B之间的区域，∠AOB=$\frac{π}{3}$，则卫星可定位在轨道某段圆弧上，求该段圆弧的长度l（用r和θ表示）

Answer 1

分析 （1）由万有引力提供向心力可得轨道半径大小，由几何关系确定sinθ；
（2）要使一颗地球同步卫星能覆盖赤道上，A，B之间的区域，相当于分别以AB为地球上的切点，由几何关系确定同步轨道段圆弧的长度．

解答 解：设地球和同步卫星的质量分别为M、m，则有：$\frac{GMm}{{r}^{2}}={m（\frac{2π}{T}）}^{2}r$
在地球表面有：GM=gR²
由几何关系得：R=rsinθ
故有：r=$\root{3}{\frac{{{R}^{2}T}^{2}g}{{4π}^{2}}}$
sin$θ=\root{3}{\frac{{4π}^{2}R}{{T}^{2}g}}$
（2）如图所示，

$α=\frac{π}{3}-θ$
故有：l=r•2α=2r（$\frac{π}{3}-θ$）
答：（1）同步卫星的轨道半径为$\root{3}{\frac{{{R}^{2}T}^{2}g}{{4π}^{2}}}$，sin$θ=\root{3}{\frac{{4π}^{2}R}{{T}^{2}g}}$
（2）该段圆弧的长度为2r（$\frac{π}{3}-θ$）．

点评 应用好万有引力提供向心力的表达式，记住黄金代换公式，恰当准确的找到几何关系是解决这类问题的关键．