Question

14．如图所示，固定在上、下两层水平面上的平行金属导轨MN、M′N′和OP、O′P′间距都是l，二者之间固定有两组竖直半圆形轨道PQM和P′Q′M′，两轨道间距也均为l，且PQM和P′Q′M′的竖直高度均为4R，两组半圆形轨道的半径均为R．轨道的QQ′端、MM′端的对接狭缝宽度可忽略不计，图中的虚线为绝缘材料制成的固定支架，能使导轨系统位置固定．将一质量为m的金属杆沿垂直导轨方向放在下层导轨的最左端OO′位置，金属杆在与水平成θ角斜向上的恒力作用下沿导轨运动，运动过程中金属杆始终与导轨垂直，且接触良好．当金属杆通过4R的距离运动到导轨末端PP′位置时其速度大小v_P=4$\sqrt{gR}$．金属杆和导轨的电阻、金属杆在半圆轨道和上层水平导轨上运动过程中所受的摩擦阻力，以及整个运动过程中所受空气阻力均可忽略不计．
（1）已知金属杆与下层导轨间的动摩擦因数为μ，求金属杆所受恒力F的大小；
（2）金属杆运动到PP′位置时撤去恒力F，金属杆将无碰撞地水平进入第一组半圆轨道PQ和P′Q′，又在对接狭缝Q和Q′处无碰撞地水平进入第二组半圆形轨道QM和Q′M′的内侧，求金属杆运动到半圆轨道的最高位置MM′时，它对轨道作用力的大小；
（3）若上层水平导轨足够长，其右端连接的定值电阻阻值为r，导轨处于磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中．金属杆由第二组半圆轨道的最高位置MM′处，无碰撞地水平进入上层导轨后，能沿上层导轨滑行．求金属杆在上层导轨上滑行的最大距离．

Answer 1

分析 （1）根据匀加速直线运动规律求得加速度，再对金属杆进行受力分析即可求得F；
（2）由机械能守恒求得金属杆在最高点的速度，再对其进行受力分析，应用合外力做向心力即可求得轨道压力，最后利用牛顿第三定律即可；
（3）求得安培力的表达式，然后将金属杆在上层导轨上运动的时间每一个极小时间段应用动量守恒，最后叠加即可求得运动位移．

解答 解：（1）金属杆在恒定外力F作用下，摩擦力f=μF_N=μ（mg-Fsinθ）；所以，金属杆沿下层导轨以加速度a做匀加速直线运动，有：
$a=\frac{Fcosθ-f}{m}$；
根据运动学公式有：
${{v}_{p}}^{2}=2as=8R•\frac{Fcosθ-μ（mg-Fsinθ）}{m}$；
所以，Fcosθ-μ（mg-Fsinθ）=2mg；
解得：$F=\frac{2mg+μmg}{cosθ+μsinθ}$=$\frac{（2+μ）mg}{cosθ+μsinθ}$；
（2）设金属杆从PP'位置运动到轨道最高位置MM'时的速度为v₁；在这过程支持力处处与速度垂直，不做功，所以，只有重力作功；
那么由机械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{p}}^{2}=4mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$；
解得：${v}_{1}=\sqrt{{{v}_{p}}^{2}-8gR}=\sqrt{8gR}$；
设金属杆在MM'位置所受轨道压力为F_M，
根据牛顿第二定律有：${F}_{M}+mg=\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{R}=8mg$
解得：F_M=7mg；
由牛顿第三定律可知，金属杆对轨道压力的大小也为7mg；
（3）经历一段极短的时间△t₁，在安培力F₁作用下杆的速度由v₁减小到v₂，接着在安培力F₂作用下经历一段极短的时间△t₂，杆的速度由v₂减小到v₃，再接着在安培力F₃作用下经历一段极短的时间△t₃，杆的速度由v₃减小到v₄，…再接着在安培力F_n作用下经历一段极短的时间△t_n，杆的速度由v_n减小到v_n+1．
由动量定理可得：F₁•△t₁=mv₁-mv₂，F₂•△t₂=mv₂-mv₃，F₃•△t₃=mv₃-mv₄，…，F_n•△t_n=mv_n-mv_n+1，
在每一段极短的时间内，杆的速度、杆上的电动势和安培力都可认为是不变的，
则△t₁时间内，安培力为：F₁=Bi₁l=Bl$\frac{{Bl{v_1}}}{r}=\frac{{{B^2}{l^2}{v_1}}}{r}$；
则△t₂时间内，安培力为：F₂=Bi₂l=Bl$\frac{{Bl{v_2}}}{r}=\frac{{{B^2}{l^2}{v_2}}}{r}$；
则△t₃时间内，安培力为：F₃=Bi₃l=Bl$\frac{{Bl{v_3}}}{r}=\frac{{{B^2}{l^2}{v_3}}}{r}$；
…
冲量累加为：F₁•△t₁+F₂•△t₂+F₃•△t₃+…+F_n•△t_n=mv₁，即为：$\frac{{{B^2}{l^2}{v_1}}}{r}•△{t_1}+\frac{{{B^2}{l^2}{v_1}}}{r}•△{t_2}+\frac{{{B^2}{l^2}{v_1}}}{r}•△{t_3}+…+\frac{{{B^2}{l^2}{v_1}}}{r}•△{t_n}=m{v_1}$，
所以，$\frac{{{B^2}{l^2}}}{r}（{v_1}•△{t_1}+{v_2}•△{t_2}+{v_3}•△{t_3}+…+{v_n}•△{t_n}）=m{v_1}$，即为：$\frac{{{B^2}{l^2}}}{r}（△{x_1}+△{x_2}+△{x_3}+…+△{x_n}）=m{v_1}$，$\frac{{{B^2}{l^2}}}{r}x=m{v_1}$；
解得：x=$\frac{{m{v_1}r}}{{{B^2}{l^2}}}=\frac{{mr\sqrt{8gR}}}{{{B^2}{l^2}}}$．
答：（1）已知金属杆与下层导轨间的动摩擦因数为μ，则金属杆所受恒力F的大小为$\frac{（2+μ）mg}{cosθ+μsinθ}$；
（2）金属杆运动到PP′位置时撤去恒力F，金属杆将无碰撞地水平进入第一组半圆轨道PQ和P′Q′，又在对接狭缝Q和Q′处无碰撞地水平进入第二组半圆形轨道QM和Q′M′的内侧，则金属杆运动到半圆轨道的最高位置MM′时，它对轨道作用力的大小为7mg；
（3）若上层水平导轨足够长，其右端连接的定值电阻阻值为r，导轨处于磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中．金属杆由第二组半圆轨道的最高位置MM′处，无碰撞地水平进入上层导轨后，能沿上层导轨滑行．金属杆在上层导轨上滑行的最大距离为$\frac{{mr\sqrt{8gR}}}{{{B^2}{l^2}}}$．

点评 在匀强磁场中，安培力与速度大小成正比，故在非平衡状态，安培力大小一直在变化，这时候，我们一般选取一段极小时间，假定这段时间速度不变来求解问题．