Question

4．如图所示，足够长且电阻不计的光滑导轨PQ、MN相距d=1m，其与水平面夹角为α，整个导轨所在区域有匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面斜向上；长为1m的金属棒ab垂直于导轨放置，且接触良好，金属棒质量为0.1kg且电阻r=1Ω；导轨右侧电路中灯泡的电阻R_L=3Ω、定值电阻R₁=7Ω；现调节电阻箱使R₂=6Ω，在t=0时刻由静止释放ab，t=0.25s时刻闭合开关S，此时金属棒的速度v₁=1.5m/s，此后ab棒做变加速运动且最终以v₂=6m/s做匀速直线运动，重力加速度大小g=10m/s²．
（1）求ab由静止下滑△x=40m（ab棒已达到最大速度）的过程中，R₁中产生的热量；
（2）改变电阻箱R₂的值，ab匀速下滑中R₂消耗的功率随R₂改变而变化，求R₂消耗的最大功率．

Answer 1

分析 （1）导体棒匀加速过程，根据牛顿第二定律求解加速度表达式，再根据速度时间关系公式求解加速度，联立得到斜面的倾斜角度；从释放到达到最大速度的过程中，重力势能转化为动能和电热，根据功能关系列式求解得到电热，再结合串并联电路的规律得到R₁中产生的热量；
（2）导体棒最终匀速，根据平衡条件和安培力公式可知最大速度固定，最大电流也固定，写出R₂消耗的功率的表达式，分析最大值．

解答 解：（1）电键闭合前，导体棒做匀加速直线运动，根据速度公式，有：a=$\frac{{v}_{1}}{t}=\frac{1.5}{0.25}m/{s}^{2}=6m/{s}^{2}$，
在匀加速阶段，根据牛顿第二定律，有：mgsinα=ma，解得：sianα=$\frac{a}{g}$=0.6，故α=37°；
从释放到达到最大速度的过程中，由功能关系有：mg$△xsinα=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$+Q_总，
根据串并联电路的规律，有Q₁=Q_总•$\frac{{R}_{1}}{{R}_{1}+r+{R}_{2L}}$，${R}_{2L}=\frac{{R}_{2}{R}_{L}}{{R}_{L}+{R}_{2}}$，
则代入数据解得：Q₁=15.54W；
（2）在R₂=6Ω且棒匀速段有：mgsinα=BId，
而I=$\frac{E}{{R}_{1}+r+{R}_{2L}}$，
且E=Bdv₂，
代入数据后，联立解得：B=$\sqrt{0.9}$T，I=$\frac{\sqrt{10}}{5}$A；
改变R₂电阻值，当ab棒再次匀速滑动，则mgsinα=BI′d，
显然，电流大小不变，电阻R₂消耗的功率：P=$（\frac{{R}_{L}I′}{{R}_{L}+{R}_{2}}）^{2}{R}_{2}$=$\frac{3.6}{{R}_{2}+\frac{9}{{R}_{2}}+3}$，
由于${R}_{2}+\frac{9}{{R}_{2}}≥2\sqrt{{R}_{2}}\sqrt{\frac{9}{{R}_{2}}}$=6，（${R}_{2}=\frac{9}{{R}_{2}}$时取等号），故当R₂=3Ω，P最大，为0.4W；
答：（1）ab由静止下滑△x=40m（ab棒已达到最大速度）的过程中，R₁中产生的热量为15.54J；
（2）R₂消耗的最大功率为0.4W．

点评 本题是滑轨问题与电路问题相结合，关键是受力分析后根据牛顿第二定律求解加速度，还要结合功能关系列式分析，对于功率极值问题，要推导出表达式后利用解析法分析．