Question

15．如图甲所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，磁场宽度为3L，正方形金属框边长为L，每边电阻均为$\frac{R}{4}$，金属框以速度υ的匀速直线穿过磁场区，其平面始终保持与磁感线方向垂直，当金属框cd边到达磁场左边缘时，匀强磁场磁感应强度大小按如图乙所示的规律变化．

（1）求金属框进入磁场阶段，通过回路的电荷量；
（2）在图丙i-t坐标平面上画出金属框穿过磁场区的过程中，金属框内感应电流i随时间t的变化图线（取逆时针方向为电流正方向）；
（3）求金属框穿过磁场区的过程中cd边克服安培力做的功W．

Answer 1

分析 （1）金属框进入磁场阶段，由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$求感应电流，由q=It求电荷量．
（2）由乙图知，线框完全磁场后，磁场的磁感应强度均匀增大，产生感生电动势和感应电流，由法拉第电磁感应定律和欧姆定律结合求感应电流．分三段研究，再作出图象．
（3）cd边克服安培力做的功W等于金属框产生的焦耳热，根据功能关系和焦耳定律求解．

解答 解：（1）金属框进入磁场阶段产生的电动势  E₁=B₀Lv                
产生逆时针方向的感应电流，感应电流的大小 I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$
则通过回路的电荷量 q=I₁•$\frac{L}{v}$=$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{R}$                                                        
（2）金属框在磁场中产生逆时针方向的感应电流，大小为   I₂=$\frac{S•△B}{R△t}$=$\frac{{B}_{0}Lv}{2R}$
金属框离开磁场阶段产生的顺时针方向的感应电流，为   I₃=-$\frac{2{B}_{0}Lv}{R}$
金属框内感应电流的i-t图线如图所示．                      
（3）线圈进入磁场时，cd边克服安培力做的功为

W₁=$\frac{{E}_{1}^{2}}{R}•\frac{L}{v}$=$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{3}v}{R}$                                                                                       
线圈在磁场内运动时，cd边克服安培力做功的功率
P=Fv=BI₂Lv=$\frac{{B}_{0}Lv}{2R}$•L•（B₀+k△t）v
其中，k=$\frac{△B}{△t}$=$\frac{{B}_{0}v}{2l}$                
此过程克服安培力做的功 W₂=$\overline{P}$t=$\frac{{P}_{1}+{P}_{2}}{2}$t=$\frac{\frac{{B}_{0}{L}^{2}v}{2R}•{B}_{0}+\frac{{B}_{0}{L}^{2}v}{2R}•2{B}_{0}}{2}$$•\frac{2L}{v}$=$\frac{3{B}_{0}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{4R}$•$\frac{2L}{v}$=$\frac{3{B}_{0}^{2}{L}^{3}v}{2R}$                                                                
则 W=W₁+W₂=$\frac{5{B}_{0}^{2}{L}^{3}v}{2R}$．
答：
（1）金属框进入磁场阶段，通过回路的电荷量为$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{R}$；
（2）在图丙i-t坐标平面上画出金属框内感应电流i随时间t的变化图线如图所示．
（3）金属框穿过磁场区的过程中cd边克服安培力做的功W为$\frac{5{B}_{0}^{2}{L}^{3}v}{2R}$．

点评 本题考查了电磁感应与电路、图象和能量的综合，关键要有分段研究感应电动势、感应电流和功的能力，特别是明确当功率均匀增大时，要知道平均功率等于初、末功率的平均值．