题目内容
【题目】所谓暗物质是指宇宙中那些既不发光也不反光，因而无法看到的物质，不过暗物质与通常物质都遵循万有引力定律，天文观测有迹象表明，暗物质的质量可能占宇宙总质量的90%至99%．如果能用磁谱仪探测到暗物质，从而进一步测出宇宙中物质的总平均密度
，那么，我们就能根据下面叙述的原理预言宇宙膨胀的前景．
宇宙的膨胀现象是在20世纪30年代由哈勃等科学家发现的，它是指观察者在宇宙中的任何一个星系（例如O）上向任何一方向看去，会看到所有其他的星系（例如P）都在远离自己，其速度v与距离R成正比，即
，如图b所示比例系数H叫哈勃常量，单位为千米/（秒·光年）．
①如果认为宇宙是均匀的各向同性的，其物质密度为，那么质量为m的星系P在远离观察者O时，所受到的宇宙所有其他物质（包括图b球面内、外两部分）对它的总引力是多少？
②如果质量为m的星系P相对于O点的引力势能
（其中M为图b中球面内物质的质量），星系P的总能量E等于其动能与引力势能之和，以证明恰使E=0的宇宙物质密度
．
③试说明，通过比较现在宇宙的物质密度与上述密度
的大小即可预言宇宙膨胀前景：或永远膨胀下去，或在将来的某一时刻停止膨胀，转而变为收缩．
【答案】①
②证明见解析 ③ 说明见解析
【解析】
①半径为R的球面内所有物质的质量为
，对P的万有引力
．而球外的所有物质可以看作是无数多个空心物质壳的总合，每一个密度均匀的空心球壳对其内的任一质点的引力为零，故该球面外所有物质对P的引力
．综合以上两部分，可知宇宙中所有物质对P的总引力
．
②因，
可以看出，星系P的行为跟地球表面上抛物体的行为类似，当初动能完全转化为引力势能时，总能量E=0，即：
，将
代入，可解得
③当
时，
，则
，因M恒定，说明星系P虽随R增大在减速，但星系间距离R的增大并无上限，即宇宙将永远膨胀下去。当
时，
，则有
（c为光速），由此可知．星系间距高达最大值
时，宇宙膨胀停止，开始转为收缩。
