Question

6．如图所示，两竖直放置的平行导轨间距为l，导轨间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，导轨的上端连接一电容值为C的电容．导轨上放有一长度为l，质量为m的导体棒，导体棒沿导轨由静止开始下滑，且在下滑过程中始终保持与导轨垂直并良好接触（电路中一切电阻均不计）．
（1）若t时刻速度为v，经历极短的时间△t后，导体棒速度增加了△v，则t时刻通过导体棒的电流I为多大？
（2）求导体棒下滑的加速度
（3）随导体棒的加速下滑，电容器储存的电荷量越大，电容器内匀强电场的场强越大，电容器储存的电场能越大，若某时刻电容器储存的电荷量的大小为Q，则此时储存在电容器中的电场的能量有多大？

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律和电容定义式结合电流强度的定义式联立求解；      
（2）对导体棒根据牛顿第二定律和安培力的计算公式求解加速度；
（3）根据$U=\frac{Q}{C}$求解电容器两端电压，根据速度位移关系求解速度，对整个过程根据能量守恒求解电容器储存的电场能．

解答 解：（1）△t时间内电容器两端电压的变化量△U=Bl△v       
△t时间内电容器储存电荷量的变化量△Q=C△U    
根据电流强度的定义式可得：$I=\frac{△Q}{△t}$
联立解得t时刻通过导体棒的电流$I=\frac{BlC△v}{△t}$；
（2）t时刻导体棒受安培力F=BIl      
对导体棒列牛顿第二定律 mg-F=ma    
根据加速度的定义式$a=\frac{△v}{△t}$
联立解得$a=\frac{mg}{{{B^2}{l^2}C+m}}$；
（3）电容器储存电荷量为Q时，电容器两端电压$U=\frac{Q}{C}$
此时导体棒的电动势E=Blv=10
因为导体棒做的是匀变速直线运动，因此v²=2ah
对整个过程列能量守恒  $mgh=E+\frac{1}{2}m{v^2}$
联立解得，此时电容器储存的电场能$E=\frac{Q^2}{2C}$．
答：（1）t时刻通过导体棒的电流I为$\frac{BlC△v}{△t}$；
（2）求导体棒下滑的加速度为$\frac{mg}{{B}^{2}{l}^{2}C+m}$；
（3）此时储存在电容器中的电场的能量为$\frac{{Q}^{2}}{2C}$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．