Question

15．F₁=2N、F₂=2N、F₃=3$\sqrt{3}$N、F₄=4$\sqrt{2}$N、F₅=4N为五个水平方向的共点力，F₁方向向正东，俯视沿顺时针方向依次为F₂、F₃、F₄、F₅．F₁、F₂之间的夹角为60°，F₂、F₃之间的夹角为90°，F₃、F₄之间的夹角为45°，F₄、F₅之间的夹角为105°，试用正交分解法求合力．

Answer 1

分析 建立坐标系：以五个力的作用点为原点，以正东方向为x轴正方向，以正北方向为y轴方向，将F₂、F₃、F₄、F₅分解到两个坐标轴上，分别求出x轴和y轴上的合力，再求解五个力的合力的大小和方向．

解答 解：1、建立坐标系如图．
    2、根据平行四边形定则将各力垂直分解到两个坐标轴上，结合结合关系求出各个力与坐标轴之间的夹角，如图．
    3、分别求出x轴和y轴上的合力，
x轴方向的合力F_x=F₁+F₂cos60°+F₅sin30°-F₃sin60°-F₄cos15°=2+2×$\frac{1}{2}$+4×$\frac{1}{2}$-3$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-4$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$-（\frac{3}{2}+2\sqrt{3}）$N
y轴方向的合力F_y=F₄sin15°+F₅cos30°-F₂sin60°-F₃cos60°=$4\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+4×\frac{1}{2}-2×\frac{\sqrt{3}}{2}-3\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$（\frac{3\sqrt{3}}{2}-2）$N
所以合力大小为：
F=$\sqrt{{F}_{x}^{2}+{F}_{y}^{2}}$
代入数据得：F=5N，
方向在第四象限，为西偏北$tanα=|\frac{{F}_{y}}{{F}_{x}}|$=$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}-2}{2\sqrt{3}+\frac{3}{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}-4}{4\sqrt{3}+3}$．
答：合力大小为5N，方向西偏北arc tan$\frac{3\sqrt{3}-4}{4\sqrt{3}+3}$．

点评 正交分解法是求解合力的一种方法，首先要建立坐标系，先正交分解，再求解合力．