Question

5．如图所示，半径为R=2m的光滑绝缘半圆轨道ABC与倾角θ=37°的粗糙绝缘斜面轨道DC相切于C，圆轨道的直径AC与斜面垂直，虚线框为电场区域，左边界过C点，初始内部无电场．质量为m=2kg的带正电q的小球以初速度v₀=4m/s相切于A点进入半圆轨道内存，之后经半圆轨道沿斜面刚好滑到与A点等高的D处，此时虚线框内出现E=$\frac{3mg}{4q}$水平向左的匀强电场．已知当地的重力加速度为g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8
（1）小球从A到D的整个过程中摩擦力做的功W；
（2）小球到达半圆轨道最低点B时，对轨道的压力大小； 
（3）在D点应给小球多大初动能E_K，才能使小球沿轨道向下运动恰好返回A点？

Answer 1

分析 （1）小球沿斜面上滑过程中，根据动能定理求解W；
（2）从抛出点到B的过程中，根据动能定理列式，在B点，根据向心力公式列式，联立方程即可求解；
（3）刚好能到达A点，由重力与电场力的合力提供向心力，根据向心力公式列式，由D到A的过程中，根据动能定理列式，联立方程即可求解．

解答 解：（1）小球沿斜面上滑过程中，根据动能定理得：
${W}_{f}=0-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=-16J$
（2）设小球达到B点的速度为v，则从抛出点到B的过程中，根据动能定理得：
$mgR（1+cos37°）=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
在B点，根据向心力公式得：
${F}_{N}-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：F_N=108N
由牛顿第三定律可知，小球在B点对轨道的压力大小为108N，方向向下，
（3）刚好能到达A点，由重力与电场力的合力提供向心力，则有：
F=$\frac{5}{4}mg=m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{A}=\sqrt{\frac{5}{4}gR}$
由D到A的过程中，根据动能定理得：
$W-2EqEsin37°=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}-{E}_{K}$
解得：E_K=77J
答：（1）小球从A到D的整个过程中摩擦力做的功W为-16J；
（2）小球到达半圆轨道最低点B时，对轨道的压力大小为108N；
（3）在D点应给小球77J的初动能E_K，才能使小球沿轨道向下运动恰好返回A点．

点评 本题主要考查了动能定理以及向心力公式的直接应用，解题时要选择合适的研究对象和研究过程列式，注意刚好能到达A点，则在A点由重力与电场力的合力提供向心力，难度适中．