Question

8．极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极（轨道可视为圆轨道）．如图所示，若某极地卫星从北纬30°的正上方按图示方向第一次运行至南纬60°正上方，所用时间为t，已知地球半径为R（地球可看做球体），地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，由以上条件可知（　　）

• A． 卫星运行的角速度为$\frac{π}{4t}$
• B． 地球的质量为$\frac{gR}{G}$
• C． 卫星运行的线速度为3$\sqrt{\frac{{4πgR}^{2}}{t}}$
• D． 卫星的运转半径为3$\sqrt{\frac{{{4gR}^{2}t}^{2}}{{π}^{2}}}$

Answer 1

分析 卫星做匀速圆周运动，根据角速度的定义求解角速度；根据地球表面重力等于万有引力求解地球的质量；根据卫星运动的向心力由地球对卫星的万有引力提供求解卫星的半径，根据线速度和角速度的关系求解线速度．

解答 解：A、卫星从北纬30°的正上方，按图示方向第一次运行到南纬60°的正上方时，刚好完成的角度为$\frac{π}{2}$，则运行的角速度$ω=\frac{\frac{π}{2}}{t}=\frac{π}{2t}$，故A错误；
B、根据地球表面重力等于万有引力，有：mg=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，故B错误；
D、卫星运动的向心力由地球对卫星的万有引力提供，故：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m{ω}^{2}r$
g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
联立解得：
r=$\root{3}{\frac{4g{R}^{2}{t}^{2}}{{π}^{2}}}$，
线速度v=ωr=$\root{3}{\frac{πg{R}^{2}}{2t}}$，故C错误，D正确．
故选：D

点评 灵活运动用重力和万有引力相等以及万有引力提供圆周运动的向心力是解决本题的关键，难度适中．